直接序列扩频(DSSS,Direct Sequence Spread Spectrum)信号具有抗干扰、抗噪声、抗多径干扰、低截获、测距性能好和可码分多址等优点,被广泛应用于军事通信、导航和航天测控等领域.扩频通信优越性以精确同步为前提,同步过程一般包括捕获阶段、跟踪阶段2个阶段,其中捕获是首要任务.信号捕获的主要限制因素是载波频率和伪码相位的不确定性.DSSS信号的捕获过程就是在整个多普勒频率和码相位上以固定间隔进行二维搜索,这对接收机的硬件或计算能力提出了很高的要求,尤其是在高动态情况下,长码DSSS信号的快速捕获实现困难,捕获范围和平均捕获时间(MAT,Mean Acquisition Time)是一对相互限制指标^[1].为了实现信号的快速捕获,接收机可以采用大量的并行相关器来降低捕获时间,但是随着捕获范围的增大,接收机硬件复杂度也会急剧增大^[2].在没有辅助情况下,同时降低相关器个数和捕获时间往往难以实现^[3].另外一个选择就是基于快速傅里叶变换(FFT,Fast Fourier Transform)的DSSS信号捕获方法,通过专用数字信号处理器快速地实现大量的假设检验处理,能够降低接收机的硬件资源消耗.基于FFT的捕获方法首先分别对接收信号和本地生成伪码进行FFT变换,然后在频域进行复数相乘,最后对相乘结果进行逆FFT变换,但是也存在计算量大和高动态适应性等问题^{[4, 5, 6]}.总之,相对于上述传统信号捕获方法,一种理想的捕获方法应该能够同时降低相关器和计算量需求.

最近,出现了一种新型DSSS信号捕获方法,其采用折叠或双折叠技术^{[7, 8]}.折叠技术对本地生成PN码进行折叠处理,降低了MAT,但是会不可避免地引入信噪比(SNR,Signal to Noise Ratio)恶化.为了降低折叠技术带来的SNR恶化,双折叠技术同时对接收信号进行折叠处理,但是MAT会有所增大.

压缩感知(CS,Compressive Sensing)是另一种可能用来实现DSSS信号快捕的新兴技术.CS技术可以利用信号的稀疏性,降低能够完美表达信号所需的采样点数目.从理论上说,CS技术找到了能够解决欠定线性方程组的方法^{[9, 10, 11]}.在DSSS系统中,假设扩频伪码序列已知,则接收信号能够被很小的信息表达,即其码相位和多普勒频率.例如,当本地生成信号接近于接收信号时,虽然伪码长度可以为1023,但是如果信号在相关域表示,其稀疏度仅为1,此时信号最稀疏.在传统的DSSS信号捕获方法中,接收机检验N个码相位假设来获取N个测量值,需要N个相关器,而根据压缩感知技术,相关器数量可以远远小于N.因此,DSSS信号捕获可以利用压缩感知技术,以期有效降低所需相关输出测量值个数.应用压缩感知理论,首先必须找到能够最稀疏表达目标信号的稀疏变换矩阵,其次需要寻求合适的测量矩阵及其相对应的有效重构算法.

迄今为止,国内外学者已经提出了多种测量矩阵和重构算法,其中随机Gaussian矩阵和随机Bernoulli矩阵已经在压缩感知中被广泛使用,但是与其相对应的重构算法普遍都有较高的计算复杂度^[12].因此,有学者提出了确定性压缩感知技术,该类压缩感知采用确定性测量矩阵,测量矩阵对应的重构算法计算复杂度较低^[13].其中,确定性的Walsh-Hadamard矩阵由于具有类似于FFT的快速Walsh-Hadamard变换(FWHT,Fast Walsh-Hadamard Transform)算法而广受关注^[14].

基于DSSS信号在其自相关域较强的稀疏性,本文提出了一种双阶段压缩捕获方法,不仅能够同时降低计算复杂度和硬件消耗,而且与折叠、双折叠技术相比,该方法的噪声鲁棒性明显提高.与传统基于并行相关的捕获方法进行对比分析,仿真结果表明双阶段压缩捕获方法在有效降低相关运算量的前提下,可以达到基于并行相关方法的性能水平.

1 DSSS信号模型分析

在扩频测控体制中一般采用调制效率较高的PCM-CDMA-BPSK调制体制,测控数据被伪随机码扩频后再经载波调制后发射.测控基带设备接收到的中频扩频测控信号可表示为

式中,A为载波振幅;P(t)为伪码速率为R_c的扩频伪码;τ为伪码相位;D(t－τ)为比特率为R_b(R_b=1/T_bR_c=1/T_c)的数据码,Tb为数据码时长,Tc为伪码时长;f_c为中频频率;f_d为多普勒频率;θ为未知的接收信号载波相位;n(t)为双边谱密度为N₀/2的加性高斯白噪声,N0为接收信号噪声谱密度.

伪码捕获是通过搜索由所有可能的伪码相位和多普勒频率组合构成的二维假设平面,寻找接收信号对应的正确假设,进而得到信号的伪码相位τ和多普勒频率f_d,如图 1所示,其中[f_min,f_max]是多普勒频率f_d变化范围.假设接收机捕获码相位精度为半个码片之内,采样率(f_s)取2倍的伪码速率,即f_s=2R_c.

在传统的捕获方法中,接收机首先要通过相关器对接收信号和本地生成参考信号进行相关处理,该本地信号可表示为

式中,f^k_d和τ_l分别为第k个多普勒频率假设对应的多普勒频率和第l个伪码相位假设对应的码相位;信号x(t)与信号x₀(t)之间的相关运算实际是在离散时间域内进行,但是为了简化代数分析模型,在连续时间域内进行理论分析.假设相关积分时间为T,且有T_cTT_b,在相关时间内可以认为数据保持不变D(u－τ)=D.则经过低通滤波的归一化相关器输出结果为

式中,t₀为积分开始时刻;x^*₀为本地信号x₀的复共轭;h_L(t)为低通滤波器可以滤除相关器输出信号的高频分量.输出结果由多普勒频率差异Δf_k=f_d－f^k_d和码相位差异Δτ_l=τ－τ_l共同决定.在无噪声时,R(Δf_k,Δτ_l)可以转变为

根据式(4)中第2个积分项的积分范围,可知P(u)和P(u－Δτ_l)相互独立,则该积分项可忽略,并且假设A=1,D=1,式(4)可进一步近似为

(5) 式中，sinc(x)=sin(x)/x.由式(5)可知,当Δf_k=0时,R(0,Δτ_l)表示伪随机码的自相关函数(ACF，Auto Correlation Function),即

假设接收机采样率f_s=2R_c,则式(6)中只有3个连续伪码相位假设可以产生信号相关能量,自相关函数曲线如图 2所示.

根据以上分析可知,DSSS信号在其自相关域内具有较强的稀疏性.假设采样率f_s=2R_c,接收信号x={x^[0],x^[1],…,x[2L-1]}T的稀疏变换矩阵为Ψ,则其构成元素可以表示为

式中,L为扩频伪码长度;l和k表示该元素在Ψ中的位置,且有l,k∈{0,1,…,2L-1};·是向上取整运算;mod为取模运算.

稀疏变换矩阵Ψ能够把接收信号x变换为低稀疏度表示形式,即

式(8)可以等价为2L个并行相关器的相关运算过程,相位分辨率为半个码片.

2 双阶段压缩捕获方法研究

基于第1节DSSS信号模型分析,提出了基于确定性沃尔什-阿达马矩阵的双阶段压缩捕获算法,该算法主要包括2个处理阶段,算法流程图如图 3所示.其中，Φ′₁=Φ₁Ψ为等效第1阶段测量矩阵，Φ₁为第1阶段测量矩阵；Φ′₂为等效第2阶段测量矩阵.下面分别加以论述.

2.1 第1阶段压缩测量及检测

基于确定性沃尔什-阿达马矩阵,构造第1阶段测量矩阵Φ₁,其构成元素为

式中,m(1≤m≤M₁)和l(0≤l≤2L-1)表示该元素在Φ₁中的位置;M₁=2^M₀₁,W_M01是大小为M₁×M₁的Walsh-Hadamard矩阵;α(≥1)为W_M01矩阵的列重复比.由式(9)可知,2L列的测量矩阵Φ₁是由M₁列的Walsh-Hadamard矩阵W_M01扩展而得,矩阵W_M01前M₁-1列分别重复α次构成矩阵Φ₁的前α(M₁-1)列,矩阵W_M01的最后一列重复构成矩阵Φ₁的其余2L-α(M₁-1)列.

第1阶段测量过程如下:

式中,y₁为第一阶段测量值,大小为M₁×1.式(10)表述了第1阶段测量过程,测量矩阵Φ₁通过M₁个Walsh码获得M₁个测量值,每个测量值都是y₀的α个连续元素之和,根据式(6)可知,当α≥3时,该测量值能够包含信号的大部分能量,因为Walsh码具有正交性,所以接收机可以从M₁个Walsh码中找到具有最大测量值的Walsh码,并且该索引能够以α/2个码片的分辨率给出ACF输出峰值的位置.注意,上述过程可以看作是由等效第一阶段测量矩阵Φ′₁行向量构成的M₁个压缩相关器实现的相关运算处理,因此,提出的双阶段压缩捕获方法相对于传统基于并行相关器的方法,第1阶段测量值(或相关器)数量降低了α≈2L/M₁倍.

根据第1阶段的观测向量y₁,第1阶段检测算法通过M₁点FWHT生成向量w_H1,目的是为了寻找最大系数所对应的Walsh码^[13].I路和Q路分别进行FWHT,生成相应的向量w_H1组成部分,需要2M₁lbM₁次乘法,并且为了获得W_H1=w_H1²,需要2M₁次乘法和2M₁-1次加法.因此,第1阶段总共需要2M₁(lbM₁+1)次乘法.把W_H1的每个元素与第1阶段检测门限γ₁进行比较,找出大于门限值的N_max个最大元素,假设这些元素索引由Λ₁表示,则有Λ₁{0,1,…,M₁-1}和Λ₁₀≤N_max.假设第1阶段检测成功,Λ₁的每个元素都可能包含ACF输出的正确峰值位置,由Λ₁扩展可得出峰值的所有可能位置的索引集合Λ′₁,如下:

2.2 第2阶段压缩测量及检测

基于第1阶段检测情况,第2阶段需要使用Λ′₁₀个并行压缩相关器检测集合Λ′₁中包含的Λ′₁₀个所有可能码相位,寻找y₀的ACF输出峰值位置(以半个码片精度),该阶段测量矩阵Φ₂的构成元素为

式中,k(k=1,2,…,Λ′₁₀)为Λ′₁的索引值;M02=lbΛ₁₀;M2=2^M₀₂,W_M02是大小为M2×M2的Walsh-Hadamard矩阵.注意,测量矩阵Φ₂有2L-Λ′₁₀个全零列向量,通过调整门限值γ₁和最大元素容限N_max,集合Λ′₁的大小,即Λ′₁₀,可以很小甚至为0.而且,一般情况下假设M2<M₁.

第2阶段测量过程如下:

式中,y₂为第2阶段测量值,大小为M2×1;Φ′₂=Φ₂Ψ是等效第2阶段测量矩阵.注意,上述过程可以看作是由等效第2阶段测量矩阵Φ′₂行向量构成的M2个压缩相关器实现的相关运算处理.测量值y₂可以看做Walsh码的线性组合,如下:

式中,W_M02(·,k)表示W_M02的第k个Walsh码.

根据第2阶段观测向量y₂,第2阶段检测算法通过M2点FWHT生成向量w_H2,目的也是为了寻找最大系数所对应的Walsh码.I路和Q路分别进行FWHT,生成相应的向量w_H2组成部分,需要2M2lbM2次乘法,并且为了获得WH₂=wH₂²,需要2M2次乘法和2M2-1次加法.因此,第2阶段总共需要2M2(lbM2+1)次乘法.把W_H2的每个元素与第2阶段检测门限γ₂进行比较,找出大于门限值的最大元素,假设该元素索引为Λ₂{0,1,…,M2-1},则Λ′₁(Λ₂)就是最终捕获的码相位值,并且其捕获精度是半个码片,满足后续的跟踪要求.

3 性能分析

主要从检测概率、平均捕获时间2方面对提出的双阶段压缩捕获方法进行性能分析.

3.1 检测概率

首先给出接收信号信噪比PSNR和稀疏化信号(即相关检测输出)信噪比PSNR0定义,即

式中,G0=2AL是相关输出最大幅度值;σ_v为输入信号噪声功率.第1阶段中I路和Q路FWHT输出平均幅度分别是G₁cosθ和G₁sinθ,其中

式中,l_T(1≤l_T≤2L)为y₀的峰值位置,即接收信号的真实码相位.式(17)仅仅针对直视信道,而实际信道是多径信道,并且大部分路径延时小于半个码片,即能在直视路径后的半个码片时间内进入接收机.在这种情况下,ACF输出与之前有所不同,然而直视仍是主要路径,所以G₁仍然可以按式(17)进行近似计算.随着路径时延增加,多径信道能量呈指数衰减,即路径时延越小,信道越强,因此当没有直视路径只有延时路径时,ACF输出仍保持三角形状,其峰值在最早到达的延时路径处出现.根据式(17),可得G₁的平均值G₁=(2－1/α)G₀,则第1阶段输出判决量的噪声方差为

第2阶段中I路和Q路FWHT输出平均幅度分别为G0cosθ和G0sinθ,因此W_H2=w_H2²平均幅值 G₂=G₀,则第2阶段输出判决量的噪声方差为

当集合Λ₁包含lT时,W_Hi(i∈{1,2})服从两自由度的非中心卡方分布,即

式中,I0(·)是第一类零阶修正贝塞尔函数.

当集合Λ₁不包含lT时,W_Hi(i∈{1,2})服从两自由度的中心卡方分布,即

则第1阶段检测概率为

式中,x_(u)为u阶统计值,其概率分布函数为

为了简化分析模型,在后续分析中假设Nmax=1,即只考虑双阶段压缩捕获方法的最简单实现情况.根据文献^[3]中的推论,可得第1阶段检测概率为

式中,Q(a,b)为马坎Q函数^[15].

同上,第2阶段检测概率可以表示为

式中M2=α(由Nmax=1易得).根据式(25)可知,由于M22L,在同等输入信号SNR水平下,检测概率P²_D要比传统基于并行相关方法的检测概率高.

综合式(20)、式(21)和文献^[3]的推论,可得漏报概率和虚警概率分别为

式中i(i∈{1,2})表示第i阶段.上述P¹_D,P²_D,Pⁱ_M和Pⁱ_F(i∈{1,2})的前提是当前多普勒频率假设f^k_d与多普勒频率真实值f_d差异最小,即fd－f_Γ<0.5Δf.在较高SNR和较大α(1)情况下,有P²_D>P¹_D,P¹_MP²_M和P¹_FP²_F,因此在后续分析中不再考虑P²_M和P²_F这2项指标.

注意,双阶段压缩捕获方法与传统基于并行相关方法的P¹_D,P¹_M和P¹_F拥有相同的表达式,只是具体参数有所不同,这和预期结果保持一致,因为2个阶段测量值y₁和y₂可以看作是对相邻相关器输出的有效合并.在输入信号SNR相同条件下,双阶段压缩捕获方法可以用较少的相关运算获得与传统基于并行相关方法相同的性能水平.

3.2 平均捕获时间

忽略很小的FWHT计算时间,假设第1、第2阶段测量值y₁,y₂的获取时间都是T₁=LTc,验证模式时间为TV=N2LT₁,信号捕获的环形搜索状态转移流程图如图 4所示.

如果当前多普勒频率假设f_Γ最接近多普勒频率真实值f_d,第1阶段检测结果存在成功检测、漏报和虚警3种可能情况.如果第1阶段检测漏报,多普勒频率假设Γ加1,在下个节点重复第1阶段检测过程.如果第1阶段成功检测或虚警,则启动第2阶段检测.如果第2阶段成功检测,则启动验证模式.直接正确假设检验(从节点Γ=Γ_R到完成捕获)、正确假设漏报(从节点Γ=Γ_R到节点Γ=Γ_R+1)和非正确假设检验(从节点Γ_i到节点Γ_i+1,且i≠R)3种情况的传递函数分别为

在实际中,验证模式函数多采用N₁-N2检测器^[16],其检测概率和虚警概率分别为

式中,(·)^V表示验证检测模式.注意,验证检测模式中使用的相关器与第2阶段的相同.并且PVD≈1和PVF≈PVf≈0可以做近似处理,式(28)~式(30)可以简化为

注意,在式(34)中忽略了第1阶段的成功检测,而第2阶段出现虚报、虚警及第2阶段成功检测,而验证模式出现虚报、虚警2种情况.上述假设在一般情况下,尤其是较高SNR条件下,具有合理性.根据文献^[2]结论,系统传递函数可表示为

根据系统传递函数与MAT相互关系μ_R=,可得系统的MAT为

当SNR较低时,P¹_DP²_D降低,式(37)的第2项会增加,从而导致平均捕获时间μ_R增加.当信噪SNR较高时,式(37)可以简化为

式(38)表明,MAT与第1、第2阶段测量值y₁,y₂的获取时间、验证模式时间和多普勒频率搜索容限等因素成正比.

4 仿真校验

对双阶段压缩捕获方法进行蒙特卡罗实验验证,主要思路是从检测概率和平均捕获时间出发,对比分析双阶段压缩捕获方法和传统基于并行的相关方法的捕获性能.仿真实验参数设置如下:考虑BPSK调制DSSS信号,数据率Rb=1kb/s，码速率R_c=10MHz,采样率f_s=2R_c,多普勒频率f_d=100Hz,码相位τ=1000,相关处理时间1ms,即2L=2046个采样值,第1和第2阶段捕获门限分别为γ₁=1.2和γ2=0.75^[3].

4.1 检测概率

在不同测量值个数情况下,通过蒙特卡洛仿真对比分析双阶段压缩捕获方法与传统基于并行相关方法的检测概率,其中载噪比C/N0变化范围取^{[20, 60]}dBHz,测量矩阵Φ₁与Φ₂构造参数分别为M01∈{7,8,9,10}和M02=lb(2L/M₁),则有第1阶段测量值个数M₁∈{128,256,512,1024},第1阶段超过门限的最大值个数Nmax∈{1,0.05M₁,0.1M₁,0.2M₁},检测概率对比如图 5所示.

由图 5可知,仿真结果与理论分析结果基本吻合,检测概率随着第1阶段测量值个数M₁和超过门限的最大值个数Nmax增加而增大,并且最终趋向于一个稳定值.当M₁=256且Nmax=13时,双阶段压缩捕获方法捕获性能与传统基于并行相关方法的基本持平,且有α≈2L/M₁=8,第1和第2阶段的相关次数分别为256和αNmax=104,即双阶段压缩捕获方法相关次数总共为360,而传统基于并行相关的方法相关次数为2L=2046,可知此时双阶段压缩捕获方法相关次数相对于传统基于并行相关的方法几乎降低了6倍,说明双阶段压缩捕获算法在显著降低相关运算量的前提下,能够达到传统基于并行相关捕获方法的检测概率水平.

4.2 平均捕获时间

实验条件设置与检测概率实验条件设置基本相同,测量矩阵Φ₁构造参数取M01∈{7,8,9},即第1阶段测量值个数M₁∈{128,256,512},第1阶段超过门限的最大值个数N_max=4α,测量值获取时间T₁=1ms,N2=10,Γ_max=20,平均捕获时间对比关系如图 6所示.

由图 6可知,在载噪比较高(>42dBHz)时,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间趋向于一个稳定的最小值22T₁,该最小值与式(38)得到的理论值2T₁+10T₁+(20/2)T₁相一致;在载噪比较低时,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间随着载噪比的降低而快速增加,这也与3.2节的理论分析保持一致,对应于式(37)的第2项,当载噪比较低时,分母P¹DP²D降低,分子1+P¹D－(2+20)·P¹DP²D+P¹F+10P¹FP²F+20(1+10P¹fP²f)增高,导致平均捕获时间增加.值得注意的是,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间的变化趋势与基于传统并行相关方法的保持一致,而且第1阶段测量值个数M₁越大,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间越能够较快地接近基于传统并行相关方法的平均捕获时间.

5 结 论

基于压缩感知理论,提出了一种双阶段压缩捕获方法,并进行了理论分析与实验对比验证,主要结论有:

1) 在显著降低相关运算量的前提下,该方法能够达到传统基于并行相关捕获方法的检测概率水平.

2) 该方法平均捕获时间的变化趋势与基于传统并行相关方法的保持一致,而且第1阶段测量值个数越大,双阶段压缩捕获方法平均捕获时间越能够较快地接近基于传统并行相关方法的平均捕获时间.

3) 双阶段压缩捕获方法能够有效利用DSSS接收信号在自相关域的稀疏性,可以有效解决DSSS信号在捕获过程中难以同时实现的高检测性能、低硬件消耗或计算量问题.