五轴数控加工刀轴方向可调,刀具姿态更加灵活,加工能力更强,但机床运动更加复杂,未经合理规划的刀轴方向可能导致机床运动不平稳,从而影响加工精度和机床寿命。为获得更合理的刀轴方向以提高刀轨的光顺性,国内外文献进行了大量研究。文献^[1]先计算出一行刀轨两端的刀轴方向,然后利用四元数法插值出中间刀轴方向,该方法可保证刀轴方向变化平稳,但直接插值得到的刀轴方向可能引起干涉,因此该方法需要反复进行干涉检查和刀轴方向的再调整,计算量大。鉴于此不足,大部分方法首先在每个切触点处建立带有某些约束条件(如无干涉约束和残高约束等)的可行刀位域,然后在可行刀位域中按照一定的光顺准则求解出最光顺的刀轨。例如,文献^{[2, 3, 4, 5]}建立了可行刀轴方向域,然后求解出一行刀轨上变化平缓的刀轴方向,上述方法平缓了局部坐标系或工件坐标系中的刀轴方向,而机床运动与机床坐标系中的刀轨直接相关,因此,为得到平稳的机床运动,需要光顺机床坐标系中的刀轨。文献^{[6, 7]}通过直接降低旋转轴的坐标变化平缓了旋转轴运动。文献^[8]估算出了切触点处旋转轴的加速度大小,在进给速度不变的情况下通过调整刀轴方向降低了旋转轴的加速度。类似的,通过光顺刀轨降低机床运动学性能(如最大轴加速度和最大轴加加速度等)对进给速度的限制可以提高进给速度^{[9, 10]}。

但上述方法在改善机床运动时只优化了旋转轴的运动,而忽略了平动轴的运动,并且没有考虑各轴之间运动能力的差异。本文改善了5个轴的加速度情况,考虑了各轴加速能力的差异,以轴加速度比,即轴实际达到的最大加速度与其允许最大加速度的比值,来衡量轴加速度情况的好坏,以5个轴加速度比的平方平均数衡量一条刀轨的光顺性。并且,本文采用最短距离线法在初始宽行刀轨的各切触点处建立了可行刀轴方向域,使光顺后的刀轨满足残高和无过切要求。

设计曲面S上,第i行刀轨的切触点曲线v=v_i上的第j个切触点C_i,j处的行宽左右边界分别为v_i,j^l和v_i,j^r,如图 1所示。S在v_i,j^l和v_i,j^r处的加工残高等于允许残高h,行宽范围内的加工误差小于h且无过切。

图 1 刀轨行宽 Fig. 1 Tool path strip width

图选项

第i行刀轨的刀轨行宽左右边界定义为

v_i^l和v_i^r均由所有切触点处左右单侧行宽的最窄处确定,如图 1所示。

第i行和第i+1行刀轨搭接时,令搭接的刀轨行宽边界相等,即

联立式(1),可得v_i,j^r≥v_i^r=v_i+1^l≥v_i+1,j^l,此种搭接方式满足公差要求,如图 2所示。实际上,这是一种有重叠量的搭接方式。

图 2 刀轨搭接 Fig. 2 Tool path overlapping

图选项

设光顺后切触点C_i,j处行宽左右边界变为v_i,j^l′和v_i,j^r′,满足如下约束可使光顺后的刀轨满足公差要求：

式(3)实际上是将光顺后刀轨各切触点处行宽左右边界限制在刀轨行宽边界之外。

刀轴方向可由局部坐标系中的偏航角和俯仰角对(φ,θ)确定。下面求解式(3)约束下的可行刀轴方向域。

v_i^l和v_i^r在生成初始宽行刀轨时可得,还需求解v_i,j^l′和v_i,j^r′关于(φ,θ)的函数关系。文献^[11]给出了行宽边界关于(φ,θ)的表达式,该方法将曲面在过切触点垂直于进给方向的平面上的截形线近似为圆弧,根据此圆弧计算出的行宽并不准确。本文以最短距离线法_{^[12]求解给定(φ,θ)下的vi,j^l′和vi,j^r′,并对可行刀轴方向域作一定简化。}

如图 3所示,在φ-θ平面上,以封闭曲线围成的区域表示理论的可行刀轴方向域,首先说明可行刀轴方向域上的4个边界点A、B、C和D。

φ0,θ0—最宽刀位对应的刀轴偏航角和俯仰角；φmax,θmax—可行刀轴方向域中最大的偏航角和俯仰角；φmin—可行刀轴方向域中最小偏航角。 图 3 可行刀轴方向域 Fig. 3 Admissible tool axis orientation domain

图选项

A(φ₀,θ₀)为最宽行宽点,在求解初始宽行刀轨^[13]时可得。A位于封闭区域的下方边界,其正下方的点{(φ,θ)|φ=φ₀,θ<θ₀}不在可行域内,因为φ不变时,θ越小,行宽越大,越容易发生过切,(φ₀,θ₀)处取得不过切的最大行宽,其正下方的点行宽更大,但是会产生过切,所以不在可行域内。

保持φ=φ₀,增大θ,即点(φ,θ)沿$\overrightarrow{AB}$移动,此时刀具绕切触点逐渐前倾,刀具底圆逐渐远离曲面,行宽边界逐渐收缩,当行宽的左边界或右边界等于相应的刀轨行宽边界时,点(φ,θ)到达B(φ₀,θ_max),继续增加θ则式(3)不成立。注意,此过程行宽逐渐减小,不会发生过切。

保持θ=θ₀,增大φ,即沿$\overrightarrow{AC}$移动,刀具底圆向一侧偏转,行宽左右边界也向相同方向移动,当到达相应的刀轨行宽边界时,停止增加φ,此时点(φ,θ)到达C(φ_max,θ₀)。注意,由A到C过程中可能会引起过切,当发生过切时也应停止继续增大φ。沿$\overrightarrow{AD}$移动与沿$\overrightarrow{AC}$移动时的情况类似,只是行宽边界移动方向相反。行宽边界变化的3种情况如图 4所示。

图 4 行宽边界变化 Fig. 4 Variation of strip width boundary

图选项

A在计算初始宽行刀轨时可得,B、C和D也较易求得。以求解C(φ_max,θ₀)为例,从A出发,以逐渐变大的步长增加φ,直到找到使式(3)不成立或发生过切的角度,在该角度和其前一个角度之间使用二分法即可确定φ_max。

本文将可行刀轴方向域简化为线段$\overrightarrow{AB}$和>$\overrightarrow{CD}$,表示为非线性等式约束如下:

线性插补方式下,刀轨由连续线性程序段构成,为防止相邻程序段连接点处速度降为零,可以以一段曲线运动过渡拐角^{[14, 15]}。如图 5所示,P₁P₂P₃P₄为机床坐标系下的一条刀轨,由于五轴加工每个刀位点包含5个坐标,无法直接以图形表示,图中在二维平面上简化表示刀轨和过渡曲线。

图 5 拐角过渡运动 Fig. 5 Corner transition motion

图选项

以拐角P₁P₂P₃为例说明过渡运动轴加速度的求解方法。根据文献^[14],在以P₂为原点的五维坐标系中,过渡运动方程为时间t的五次多项式:

根据文献^[14]中求解过渡运动的方法,可得d_i(i=0,1,2,3,4,5)、T和$\left\| \overrightarrow{{{P}_{2}}Q} \right\|$。求P(t)关于t的二阶导数,可得加速度为

P″(t)在各轴上的分量为相应的轴加速度,轴加速度的绝对值称为轴加速度大小,各轴加速度大小均在t=T/2时刻取得最大值:

下面分析拐角几何形态对轴加速度的影响。保持V_e和$\left\| \overrightarrow{{{P}_{2}}Q} \right\|$不变,由式(5),减小u+v,各轴加速度均降低,‖u+v‖与拐角夹角正相关,所以增大拐角的夹角可以降低各轴加速度。保持夹角不变,调整w的方向,其投影长度在一些轴上变小,对应的轴加速度降低,由于w_X²+w_Y²+w_Z²+w_A²+w_B²=1,投影长度在其余轴上必然变大,对应的轴加速度变大,所以调整w方向使某些轴加速度减小的同时必然引起其余轴加速度变大。

考虑到各轴加速能力的差异,以轴实际达到的最大加速度与其允许最大加速度的比值即轴加速度比来衡量轴加速度情况。正常加工过程中,各轴加速度比应控制在[0,1)上,且加速度比越接近零的轴,其运动越接近匀速状态,加速度情况越好。

5个轴加速度比的平方平均数在整体上衡量了一段拐角过渡运动机床运动的平稳性,称之为平均加速度比。对于一段拐角过渡运动,在端点速度V_e一定的情况下,平均加速度比越小,则机床运动的加速度情况越好,运动越平稳。平均加速度比的表达式为

对于含有n-2个拐角的刀轨P₁P₂…P_n,建立如式(6)所示优化模型可以改善拐角过渡运动的加速度情况：

式(6)优化模型的目标函数值与机床坐标系中的刀轨P₁P₂…P_n相关。求解目标函数值时,首先需要由设计变量(φ₁,θ₁,φ₂,θ₂,…,φ_n,θ_n)求解机床坐标系中的一行刀轨P₁P₂…P_n,然后再根据第2.1节和第2.2节中的方法求解P₁P₂…P_n上各拐角的平均加速度比λ_i,然后取λ_i的最大值可得目标函数值。

下面给出由(φ_i,θ_i)求解P_i的方法。首先根据刀具几何和(φ_i,θ_i)求解局部坐标系中的刀位坐标,然后进行刀位坐标变换,如图 6所示,变换过程分2步:

图 6 刀位坐标变换 Fig. 6 Tool position coordinate transformation

图选项

1) 从局部坐标系变换到工件坐标系。根据局部坐标系相对工件坐标系的方位对局部坐标系中的刀位坐标进行变换可得工件坐标系中的刀心点坐标(x_i,y_i,z_i)和刀轴单位矢量(u_i,v_i,w_i)。

2) 从工件坐标系变换到机床坐标系。根据工件坐标系相对机床坐标系的方位,机床结构和刀柄长度对局部坐标系中的(x_i,y_i,z_i,u_i,v_i,w_i)进行变换^［12]可得机床坐标系中的刀位点P_i(X_i,Y_i,Z_i,A_i,B_i)。

λ_i由机床坐标系中3个刀位点P_i-1、P_i和P_i+1确定,这3个刀位点可分别由(φ_i-1,θ_i-1)、(φ_i,θ_i)和(φ_i+1,θ_i+1)根据上述方法求得。当切触点处局部坐标系相对工件坐标系的方位,工件坐标系相对机床坐标系的方位,刀具几何,机床结构和刀柄长度均确定的情况下,λ_i实际上是φ_i-1,θ_i-1,φ_i,θ_i,φ_i+1，θ_i+1的函数,即λ_i可表示为λ_i=λ_i(φ_i-1,θ_i-1,φ_i,θ_i,φ_i+1,θ_i+1)。式(6)优化模型即通过调整(φ₁,θ₁,φ₂,θ₂,…,φ_n,θ_n)来最小化$\underset{i}{\mathop{\max }}\,$(λ_i),并且保证(φ_i,θ_i)∈Ω_i。

式(6)优化模型的设计变量维数为2n,而实际加工中n一般较大,因此以整体优化方法求解该模型时,优化效果不好。本文采用多次局部优化法,对一行刀轨的光顺算法步骤如下:

1) 找到最差拐角。根据(φ₁,θ₁,φ₂,θ₂,…,φ_n,θ_n)求解λ_i,求解λ_i时令各拐角的V_e相等。找到最大平均加速度比,记为λ_k,λ_k对应的拐角为P_k-1P_kP_k+1,称之为最差拐角。

2) 局部优化。对P_k附近的若干刀位点进行局部优化,经试验,当选择P_k和其前后各3个刀位点进行局部优化时,优化效果较好,此时设计变量为[φ_s,θ_s,φ_s+1,θ_s+1,…,φ_e,θ_e],其维数为2(e-s+1),其中：s和e分别为被调节的第1个和最后1个刀位点序号,计算公式见图 7。局部优化过程中,λ_s-1,λ_s,…,λ_e+1将发生变化,因此将max(λ_s-1,λ_s,…,λ_e+1)作为局部优化的目标函数,注意,当i≤1或i≥n时,可以设定λ_i为零。局部优化属于带非线性等式约束的多维优化问题,可采用序列二次规划法求解。

图 7 刀轨光顺算法流程 Fig. 7Tool path smoothing algorithm process

图选项

3) 对局部优化完成后得到的新刀轨重复进行上述2步操作,当某一次局部优化结束后,最差拐角位置没有发生变化时,对该行刀轨的光顺过程结束。

对一行刀轨的光顺算法流程如图 7所示。

工件曲面如图 8所示,工件坐标系与机床坐标系重合。刀具为r=5mm的平底刀,摆长为75mm。机床为单摆头单转台结构,旋转轴为B和A。X、Y、Z、A和B轴的允许最大加速度分别设定为2500mm/s²、3000mm/s²、2100mm/s²、298.8( )/s²和298.8( )/s²。

图 8 工件曲面 Fig. 8 Part surface

图选项

对切触点曲线为v=0.5的一行初始刀轨进行刀轨光顺。如图 9所示,光顺前拐角P₁₇P₁₈P₁₉、P₁₈P₁₉P₂₀、P₂₃P₂₄P₂₅和P₃₉P₄₀P₄₁处平均加速度比较大,分别为7.05、7.88、10.25和5.90,光顺后得到降低,分别为1.14、2.10、2.08和0.81。计算加速度比时各拐角过渡运动的V_e均等于15。

图 9 光顺前后λi Fig. 9λi before and after smoothing

图选项

图 10(a)与图 10(b)分别表示光顺前后旋转轴与平动轴的坐标变化。从图中可见上述平均加速度比较大的4个拐角处均得到了光顺。

图 10 光顺前后轴坐标 Fig. 10 Axis coordinates before and after smoothing

图选项

光顺后各轴最大平均加速度比均得到降低,分别是光顺前的76.92%、26.51%、31.38%、30.23%和24.25%。

在Intel(R) D 2.10GHz,2GB内存的计算机条件下,光顺该行刀轨(含45个刀位点)的程序运行时间为47.88s,共进行局部优化21次,平均一次局部优化时间为2.28s。

本文提出了一种改善线性插补方式下拐角过渡运动中机床加速度情况的五轴刀轨光顺方法。

1) 以平均加速度比作为机床运动加速度情况的衡量准则,可同时优化平动轴与旋转轴的运动,并且考虑了各轴加速能力的差异。

2) 采用多次局部优化方法,每次局部优化可快速有效地改善最差拐角处的机床加速度情况,提高机床运动平稳性。

3) 以最短距离线原理求解的可行刀轴方向域可使光顺后的刀轨满足残高和无过切要求。