灵敏度分析主要研究模型的输出不确定性是如何分配到输入不确定性的^[1]。研究输入对输出不确定性的影响程度,有助于设计者选择更全面、合理和有效减小模型输出不确定性的方案。通常,灵敏度分为局部灵敏度、全局灵敏度和区域灵敏度。局部灵敏度不能反映输入变量整个分布范围对输出响应不确定性的影响,而全局灵敏度反映的是输入变量在其整个分布范围的不确定性对输出响应不确定的影响程度,更具有实际应用的潜能。目前,全局灵敏度的分析模型主要分为3类:非参模型(相关系数模型)^[2]、基于方差的模型^{[3, 4]}和矩独立模型^{[5, 6]}。在这些分析模型中,基于方差的模型应用最为广泛,由Sobol和Kucherenko^[3]提出,满足“全局性、可量化性和模型独立性”。全局灵敏度分析这种平均的思想可以简单直观地从总体上把握输入变量对输出性能的影响,但由于全局灵敏度是在全域内取平均,因而有可能掩盖输入变量取值区域对输出影响的重要信息,因此,进行区域灵敏度分析至关重要,其主要度量的是输入变量不同取值区间对输出不确定性的贡献程度。Bolado-Lavin等^[7]提出样本均值贡献(Contribution to Sample Mean,CSM)曲线,其衡量的是输入变量分布区间减缩时,输出均值的变化。受CSM的启发,Tarantola等^[8]提出了样本方差贡献(Contribution to Sample Variance,CSV)曲线及相应的方差比函数。Wei等^[9]又对CSM、CSV及相应的均值比函数和方差比函数做了改进,改进后的指标更真实地反映了输入变量的区间减缩后对输出均值和方差的贡献。在基于方差的区域灵敏度分析的基础上,Wei等^[10]提出了基于方差的W指标,其反映的是输入变量取不同取值区间对输出方差的平均影响,但是不能反映输入变量取不同取值区间时对输出方差影响的变异性。

因此,本文对基于方差的W指标进行改进,改进后的指标既包含输入变量取不同取值区间对输出方差的平均影响,又包含不同取值区间对输出方差影响的变异性,使得改进后的W指标能够提供更为全面合理的输入变量的灵敏度信息。除此之外,本文还将空间分割(Space-Partition,SP)、无迹变换(Unscented Transformation,UT)^[11]和函数插值技术相结合构造了一类计算方法,只需一组UT样本点就可以近似计算基于方差的全局灵敏度指标、基于方差的区域灵敏度指标、基于方差的W指标和改进的基于方差的W指标,以便为设计人员提供更多重要性分析的有用信息。数值算例和工程算例的计算结果验证了本文方法的准确性和高效性。

1 各类基于方差的灵敏度指标 1.1 基于方差的全局灵敏度指标

设Y=g(X),X=(X₁,X₂,…,X_n)为n维随机变量,X_i对Y方差贡献的1阶指标定义如下^[4]:

式中:V_Xi(E_X-i(Y|X_i))为衡量X_i固定在其整个分布域时对模型输出方差的平均减小量,X_-i为除去X_i变量的其他输入变量组成的向量；V(Y)为模型输出的总方差。S_i越大,X_i对输出方差的影响越大,即该变量越重要。对于一组输入变量X_R=(X_i1,X_i2,…,X_ir)(X_ir∈(X₁,X₂,…,X_n)，r∈{1,2,…,n}),其r阶方差贡献指标S_R有类似定义:

1阶方差贡献总指标以及r阶方差贡献总指标定义如下:

1.2 基于方差的区域灵敏度指标

本文采用Wei等^[9]改进的区域灵敏度指标进行计算分析。当X_i的分布范围从原始的[-∞,+∞]减缩到[u,v]时,模型输出均值为

式中: 为X_i在减缩区间内的概率密度函数;u=F_Xi-1(q₁);v=F_Xi^-1(q₂)(F_Xi^-1(·)为第i个输入变量的累积分布函数的逆函数,q₂>q₁∈[0,1])。

输入变量X_i的均值比函数定义如下:

式中:E(Y)为模型输出的均值,计算式如下:

类似地,当X_i的分布范围从原始的[-∞,+∞]减缩到[u,v]时，模型输出方差为

相应地，输入变量X_i的方差比函数定义如下:

通过三维的HM_i(q₁,q₂)和HV_i(q₁,q₂)图像可以清楚地读出X_i变量减缩到任意区间[F_Xi^-1(q₁),F_Xi^-1(q₂)]时所对应的均值与原始均值的比值以及方差与原始方差的比值,从而直接为设计人员提供更多有用的减小输出不确定性的信息。

1.3 基于方差的W指标

文献[10]对于输入变量X_i定义了其基于方差的W指标如下:

式中:Q_i为在X_i原始取值范围内抽取的N个不同子区间所对应的区间上下界的分位数:

V_X(Y|X_i∈U_i)为X_i属于U_i区间而X_-i变量在其整个分布范围内变化时所对应的输出方差。Q_i包括了U_i的所有可能,因此,基于方差的W指标反映的是输入变量固定在其分布范围的任意子区间内对输出方差的平均影响。对于W总指标,文献[10]也给出了相应的定义:

文献[10]同时证明了基于方差的W指标与方差比函数HV_i(q₁,q₂)的关系:

从基于方差的W指标的定义可以看出,其仅是X_i取所有可能的分布子区间时对输出方差的平均影响,可能掩盖了X_i在某个子区间对输出方差V(Y)的较大影响项,因此,更合理的基于方差的W指标的定义不仅需包含平均影响项(即原始的基于方差的W指标所提供的信息),还需包含影响X_i取不同分布子区间对输出方差影响的变异性,基于此,本文在第2节将对原始的基于方差的W指标进行修正。

2 改进的基于方差的W指标

第1.3节分析了原始的基于方差的W指标存在的不足,本节将对其进行一定的修正。为避免X_i取不同分布子区间时对输出方差影响的正负抵消,对原始的基于方差的W指标的改进如下:

通过平方项的添加,使原本影响的正负抵消现象得以消除,取而代之的是正负抵消项的累加,这更能真实反映X_i在不同分布子区间内对输出方差的平均影响。对式(14)作进一步推导可得

从式(15)可以看出,改进的基于方差的W指标既包含了原始的基于方差的W指标,又包含了X_i在不同分布子区间内对输出方差影响的变异性,因而改进的基于方差的W指标较原始的基于方差的W指标更全面。

3 各类基于方差灵敏度指标的近似计算方法

通过第1节对各类基于方差的灵敏度指标的回顾以及第2节对原始的基于方差的W指标的改进,可以看出,不同的灵敏度指标侧重反映不同的信息,为了给设计人员提供全方位、多角度的输入变量重要性信息,需要从区域和全局双重的角度进行研究,这样可以在把握输入变量对输出性能影响的总体信息的基础上,全面把握输入变量随机取值的任意区域对输出性能影响的详细信息,既不因总体上的综合而遮盖区域的重要影响信息,又不因区域的繁多信息而影响对输入不确定性影响的总体上的把握。本节将空间分割、UT和函数插值技术相结合构造一种近似计算方法,其只需一组UT样本点就可以同时近似计算各类基于方差的灵敏度指标。

3.1 输出响应均值和方差的计算

由文献[11]可知,UT方法首先根据输入变量概率分布的一些特征(如均值和协方差)确定产生一组Sigma点以及相应的权重。然后将Sigma点代入非线性函数中,得到变换的Sigma点,这些变换后的Sigma点可以用来估计非线性函数的均值和协方差。低阶UT在仅匹配先验状态均值和协方差的情况下,对非线性函数Y=g(X)的均值和方差的估计: 可以达到3阶精度^[12],w_l为相应的权值,p为Sigma点个数,z_l为Sigma点代入到非线性函数中得到的变换的样本点,为非线性函数g(X)的均值估计值,为非线性函数g(X)的方差估计值。对于高度非线性的输出响应函数均值和方差的计算,UT方法将失效。本文将空间分割和UT方法结合,计算非线性程度较高的输出响应函数的均值和方差。其基本思想为:将求解E(Y)和V(Y)的积分全域进行分割,则在子空间内局部函数的非线性程度将大大低于全域函数的非线性程度,使得在局部区域采用UT方法可得到高精度的解。输入变量组成的积分全域分割也为本文利用一组UT样本点计算各类方差指标创造了良好的前期准备条件。

空间分割结合UT方法(SP-UT)计算E(Y)和V(Y)的步骤如下:将每一维输入空间X_i(i=1,2,…,n)等概率地划分为N_i个互不重叠且充满整个取值区域的子区间A_ji=[a_ji-1,a_ji](j_i=1,2,…,N_i),在此划分下输出响应Y的均值E(Y)和方差V(Y)如下:

在子积分空间A_j1,j2,…,jn=A_j1∩A_j2∩…∩A_jnn)中,X的联合密度函数变为

因此,式(16)可以等价表示为

式中: 为x∈A_j1,j2,…,jn的概率。在减缩的子空间A_j1,j2,…,jn内应用UT方法可得

式中:w_l(l=1,2,…,2n+1)和s_l(l=1,2,…,2n+1)分别为由减缩空间A_j1,j2,…,jn内的概率密度函数f^*_{X(j1,j2,…,jn)}(x)产生的X的第l个权值及相应的n维Sigma点。

类似地,输出响应的方差为

3.2 基于方差的全局灵敏度指标的计算

文献[13]给出了基于方差的全局灵敏度指标的近似计算公式,对于1阶方差指标有如下近似:

式(21)的前提假设是:当输入变量X_i所对应的取值区间划分较小时,近似计算值收敛于真值。本节主要给出重复利用UT样本计算1阶方差全局灵敏度指标的近似表达:

式中:

其中： 为X_i属于A_ji子区间而其他变量处于原始积分域的联合概率密度函数,即

w_l和s_l则是由如下密度函数产生的X的第l个权值及相应的n维Sigma点。

E(Y)(X_i∈A_ji)采用SP-UT估算的表达式为

重复利用计算无条件均值和方差所产生的子空间内的UT样本点近似计算方差全局灵敏度指标的公式如下:

3.3 均值比函数、方差比函数、基于方差的W指标及改进的基于方差的W指标的计算

重复利用计算无条件均值和方差所产生的空间划分及相应的样本点得到均值比函数和方差比函数的三维图像的具体流程如下。

1) 在计算无条件均值和方差中,每一维输入变量区间被划分为N_i个子区间,则X_i变量分布区间相应分位数向量B为:

2) 满足q₁,q₂∈B且q₂>q₁的区间有N_i(N_i+1)/2个,计算每一个可能区间的HM_i和HV_i,如下:

式中: ;w_l和s_l为由如下密度函数产生的X的第l个权值和相应的n维Sigma点。

类似地,计算 如下:

3) 根据步骤2)计算的结果画出HM_i和HV_i与分位数q₁、q₂的关系图。

式(13)和式(15)分别建立了方差比函数和基于方差的W指标及改进的基于方差的W指标的关系,则在计算得到的HV图中,可以通过函数插值技术得到任意区间对应的输出响应函数的方差值,进而近似得到对应的基于方差的W指标和改进的基于方差的W指标。

3.4 SP-UT方法的计算量

采用标准UT,每个子空间内产生p=2n+1个Sigma点,由于w₀=0,因此每个子空间内实际模型调用次数为p=2n,总计算量为: 。可以看出,本文方法主要针对输入变量维数较低的问题。

4 算例验证

算例1 Sobol’s G函数^[14]。由于其强的非单调性和强的非线性,在灵敏度分析中被广泛作为验证算例。数学表达式如下:

式中:a_i(i=1,2,…,n)为决定哪个输入变量比较重要的常数。在该算例中,选择n=3,a₁=0,a₂=1,a₃=2。将输入变量空间划分为10×10×10的子空间,在每个子空间中利用UT方法进行采样,重复利用这6 000个样本点计算出了基于方差的全局灵敏度指标的近似计算结果(见表 1),均值比函数、方差比函数的三维图(见图 1、图 2),原始的基于方差的W指标(见表 2),以及改进的基于方差的W指标的计算结果(见图 3),与原始的基于方差的W指标的计算结果对比说明,X₂和X₃变量在不同取值区间对无条件方差V(Y)影响大小的变异性较大。从SP-UT的计算结果中可以看出,其与Monte Carlo模拟(MCS)法使用大样本计算的结果是非常接近的,从而可以得出本文方法的准确性。并且通过一组样本点,得到了不同方差分析指标的结果,从不同角度全面地为设计分析人员提供了有价值的信息。

算例2 一根钢筋混凝土梁^[15],其极限状态函数为

式中:A_s、F_Y、F_c、Q、d和b分别为加强截面、钢的屈服强度、混凝土抗压强度、总弯矩、梁的高度和宽度。Q、d和b为已知常量，分别为 2 052 kN·cm、19 cm和12 cm。A_s、F_Y和F_c的统计特性如表 3所示。采用10×10×10的空间分割策略,即通过6 000次的模型调用就可以计算出各类基于方差的重要性分析指标,计算结果见表 4、表 5、图 4~图 6。

通过与大量样本下MCS计算结果的对比可以看出,本文方法通过一组样本点近似各类方差重要性指标的准确性和高效性。通过各指标的计算结果可以得出,钢的屈服强度不论从全局还是局部的角度来看,都是对输出不确定性影响最大的变量,因此,可以通过调整其取值范围来降低输出的不确定性。

5 结 论

1) 本文对原始的基于方差的W指标进行了改进,使其在包含原始指标所提供的信息外,还包含了X_i在不同分布子区间内对输出方差影响的变异性,更全面合理地反映了X_i取不同实现区间时对输出方差的平均影响。

2) 鉴于各类基于方差的灵敏度指标从不同的角度衡量了输入变量的重要性,提出了高效的同时计算这些指标的基于空间分割、UT和函数插值技术的方法,该方法利用一组UT样本点就能计算出所有指标,从而高效地从多角度为设计人员提供更有价值的输入变量的重要性信息。

3) 本文方法可以适用于复杂的非线性响应函数,通过算例进行了验证。

4) 由于本文方法的计算量会随输入变量维数的增加而呈指数增长,因此,其仅适用于输入变量维数较低的问题。