电液伺服泵(Integrated Electro-Hydraulic Servo Pump，IEHSP)是一种将伺服电机和液压泵共转子、共壳体进行高度融合的新型液压动力装置，其摒弃了传统电机-泵组采用联轴器连接的三段式连接方式，因此在体积、工作噪声以及效率等方面具有很大的优势^[1]。由于伺服电机和液压泵的种类有多种，融合而成的电液伺服泵自然也有多种形式。本文研究对象为永磁同步伺服电机和轴向柱塞泵融合而成的电液伺服泵，其可以被广泛应用在注塑机行业的流量、压力控制，舰船、飞机电静液作动的位置控制等高伺服控制场合，此时电液伺服泵的速度控制性能往往成为整个控制系统的关键。单就永磁同步伺服电机来看，其本身就具有多变量、强耦合和非线性的特点，而对于电液伺服泵，电机被融合在一个特殊的环境中，如定转子之间为油隙而非气隙，随着转速的变化会受到因此而产生的阻尼转矩的扰动，另外由于电机处在一个密闭的腔体中，如果散热不好，会造成电机电磁特性更加易变，控制难度增大，因此需寻求速度控制精度高、鲁棒性更强的新型控制策略。滑模控制是一种应对系统不确定性和扰动的有效方法，但是滑模控制存在固有的抖振问题，如何降低抖振成为滑模控制中的热点研究问题。现有的常用消抖方法有边界层法^[2]、高阶滑模控制法^[3]和趋近律法^[4]等，这些方法都存在或多或少的不足，如边界层法在边界层内不具有鲁棒性且存在稳态误差，而高阶滑模控制需要利用微分器估计滑模面的高阶微分，造成计算复杂。

近年来，随着分数阶微积分理论的不断完善与成熟，分数阶微积分已经逐渐被应用到控制工程领域。将分数阶微积分理论同传统滑模控制策略相结合构成分数阶滑模控制器，往往能使系统获得更好的动静态性能，为此国内外学者进行了大量研究。文献[5]针对一类2阶非线性系统，设计了PD型分数阶滑模控制器，并采用模糊方法确定切换增益以减小抖动。文献[6]设计了一种分数阶终端滑模控制器，实现了有限时间收敛，但是控制器存在奇异问题。文献[7]设计了基于分数阶趋近律的滑模控制器，并将其应用于二自由度机械臂控制。文献[8-9]将PID型分数阶滑模控制器分别应用于电子降压转换器和火炮控制，但是并未给出滑模面的稳定性证明。文献[10]将分数阶滑模控制器应用于航天器的姿态跟踪控制，取得了比整数阶控制器更好的控制性能。文献[11]首次将一种PD型分数阶滑模控制器应用于永磁同步电机的调速系统，文献[12]则采用了PI型分数阶滑模控制器，但这2篇文献仅仅从分数阶滑模面的收敛速度层面分析了消抖的作用，而控制量中仍然含有切换项，抖振现象依然存在，其次两者也不能保证系统在有限时间内收敛。此外，控制器中含有被控量误差的高阶分数阶微分项，易引入噪声，限制了分数阶阶数的取值范围。文献[13]将PI型分数阶滑模控制应用于阀控马达的角度控制，但仅仅同整数阶滑模控制做了控制精度的对比，未涉及消抖问题。事实上，滑模控制器的鲁棒性和系统的快速性往往与消抖的目标是互相矛盾的，抗扰性能越强，则要求切换增益越大，造成的结果必然是抖振幅值增大。针对以上问题，本文所构建的新型分数阶滑模控制器(NFOSMC)可以保证系统状态能在有限时间内收敛到平衡点，并通过设计使控制器中直接包含切换项的分数阶积分项消除抖振，实现无抖振控制，保证在减小抖振的同时允许选择更大的切换增益，很好地解决了上述矛盾。

为了提高系统抗扰能力，利用扰动观测器对系统内扰和外扰实时观测并加以前馈补偿是一种常用方法。目前一些常用的观测方法有Luenberger观测器^[14]、扩展Kalman滤波器^[15]和滑模观测器^[16]等。其中，Luenberger观测器要求系统模型精确已知，鲁棒性较差；扩展Kalman滤波器存在计算复杂、整定参数多的问题；而传统滑模观测器的观测值中又包含由抖振造成的高频噪声。

本文设计了一种分数阶扰动观测器(FODOB)，采用分数阶微分方程描述扰动动态特性，利用分数阶系统的稳定定理保证扰动误差的收敛性，通过调节分数阶阶数滤除观测值中的高频抖振成分，实现对扰动的无抖振准确观测。

1 电液伺服泵工作原理

图 1为一种永磁同步伺服电机和轴向柱塞泵融合而成的电液伺服泵的工作原理^[17]。其基本工作原理如下：由电源接线座引入三相交流电产生旋转磁场，该旋转磁场与转子表面永磁体产生的磁场相互作用驱动转子旋转，此时转子中的柱塞通过和斜盘、配流盘配合产生往复直线运动，从而完成吸排油过程，其中旋转变压器用来检测转子磁极的位置。可以看出，电液伺服泵的工作原理与传统的伺服电机通过联轴器再驱动泵的方式是相同的，但是在结构上实现了伺服电机和液压泵的高度融合，两者共转子、共壳体。

2 电液伺服泵建模

虽然电液伺服泵定转子之间为油隙而非气隙，但油隙并不改变转子永磁体产生的磁密形状，因此仍然可以假设磁密形状为正弦状，定子绕组反电动势波形也为正弦，转子永磁体为表贴式，在旋转dq坐标系中的电压方程可写为

式中：u_d、u_q分别为d、q轴电压分量；i_d、i_q分别为d、q轴电流分量；L_d、L_q分别为d、q轴等效电感；R为定子绕阻电阻；ψ_f为转子永磁体磁链；p为极对数；ω_m为转子机械角速度。

电液伺服泵电磁转矩为

由于电液伺服泵定转子之间为油隙，因此需要考虑转子旋转时与油液产生的摩擦转矩，根据Pertoff定理^[18]，油隙摩擦转矩为

式中：μ为液压油液动力黏度；L为电液伺服泵转子长度；r为电液伺服泵转子半径；σ为定转子间的油隙厚度；b₁为油隙摩擦系数。

电液伺服泵三大运动副产生的摩擦转矩为T₂=b₂ω_m，b₂为电液伺服泵运动副摩擦系数。电液伺服泵运动方程可写为

式中：J为转动惯量；T_p为外负载转矩；b=b₁+b₂为等效的总黏性摩擦系数。

电液伺服泵输出流量为

式中： D为电液伺服泵排量；C_l为泄漏系数；Δp为电液伺服泵进出口压差。

选取状态变量X=[i_d  i_q  ω_m]^T，考虑系统模型中参数摄动和外扰，将i_q看作ω_m的输入量，此时系统状态方程可写为

式中：

其中：Δf_d、Δf_q和Δf_p为参数摄动造成的扰动。

3 分数阶滑模控制器设计 3.1 Riemann-Liouville分数阶微积分定义

目前，常用的分数阶微积分定义有Grunwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville(RL)定义和Caputo定义3种，本文采用RL定义，下面给出RL分数阶微积分的定义^[19]。

RL分数阶积分：

RL分数阶微分：

式中：_t0^RLD_t^α和_t0^RLD_t^-α分别为RL微积分算子；t₀和t分别为积分下限和上限；α>0为分数阶微积分阶数；m为大于α的最小正整数；Γ(·)为Gamma函数。

性质1^[20-21]  RL分数阶微分具有以下性质:

为了简便，下文中用D^α表示_t0^RLD_t^α。

3.2 分数阶速度滑模控制器设计

设给定角速度为ω_d，定义电液伺服泵的角速度误差为e=ω_m-ω_d。

设计如下分数阶滑模面：

式中：α∈[0, 1]；ρ∈(0, 1)；λ∈(1, 2), k₁, k₂∈(0, ∞)；sgn(·)为符号函数。

对式(9)求导并利用性质1，可得

选用指数趋近律，令_ω=-ξsgn(S_ω)-ηS_ω，ξ>0, η>0。由此可得q轴电流控制指令为

定理1  选用式(9)表示的滑模面和式(11)表示的控制律，可以保证系统状态e从任意初始值开始，都将在有限时间内到达滑模面S_ω=0，并在之后的滑模运动中保证误差e在有限时间内收敛到零。

证明  滑模面有限时间稳定性证明：令S_ω=0，利用性质1并对式(9)两边进行α阶微分，可得

由此可得

选择Lyapunov函数V₁=e²/2，求导并将式(12)代入可得

式中：K>0；0 γ 1。

假设t=t_r时误差状态e到达滑模面S_ω=0，根据有限时间稳定性定理^[22]，误差状态e将在t_r之后的有限时间t_e内收敛到零，其中收敛时间为t_e≤V^1-γe(t_r)/K(1-γ)。

可达性证明：选择Lyapunov函数V₂=S_ω²/2，求导并代入式(10)和式(11)，得

此时如果|D^1-αF₃|≤δ，选择参数ξ=ξ₁+δ，ξ₁>0, 则

根据有限时间稳定性收敛定理，可以保证系统在有限时间内到达滑模面S_ω=0，假设在t=t_r时到达滑模面，则t_r≤-|S_ω(0)|/ξ₁。    证毕

由式(9)和式(11)可以看出，所设计的分数阶滑模控制器具有以下特点：

1) 滑模面S_ω中含有误差e的终端吸引子e^ρ，因此可以保证e在到达滑模面后在有限时间内收敛到零，由方程式(12)解得收敛时间^[23]为

式中：GS(·)为高斯超几何函数。

2) 控制量中包含有D^α-1(-ξsgn(S_ω)-ηS_ω)，该项是切换项sgn(S_ω)的分数阶积分，可以起到平滑滤波作用，有效去除抖振。同时可以保证在滤除抖振的情况下允许选择尽可能大ξ和η，以加快到达滑模面的速度。

3) 到达滑模面后，e的动态行为由微分方程式(12)决定，e(t_r)较大时，收敛速度主要由k₁|e|^λsgn(e)项决定，当e(t_r)较小时，收敛速度主要由k₁|e|^ρsgn(e)项决定，因此保证了e在滑模面上能够全程快速收敛。特别的，当α=1时，滑模面蜕变为普通的整数阶滑模面：+k₁|e|^λ·sgn(e)+k₂|e|^ρsgn(e)=0。

3.3 分数阶q、d轴电流滑模控制器设计

定义1  q、d轴电流跟踪误差分别为e_q=i_q-i_q^*，e_d=i_d-i_d^*，采用i_d^*=0的矢量控制方式，分数阶滑模面分别为

式中：λ₁∈(1, 2)；ρ₁∈(0, 1)；k₃, k₄∈(0, ∞)；λ₂∈(1, 2)；ρ₂∈(0, 1)；k₅, k₆∈(0, ∞)。

同样选用指数趋近律，可得控制率为

4 分数阶扰动观测器

通过观测器实时观测扰动量F₁、F₂和F₃，将观测值₁、₂和₃前馈补偿到到控制量中，用以提高系统的抗扰能力，据此扰动补偿后的控制率变为

扰动F₁、F₂和F₃通常由定子绕阻电阻R、电感L_d和L_q、磁链ψ_f等参数和外负载的变化产生，而这些参数的变化本身就是一个缓慢变化的过程而非突变，另外控制器的控制周期很短，所以在一个控制周期内可以把F₁、F₂和F₃看作慢时变量，根据分数阶微分的衰减记忆特性，采用分数阶微分方程D^εF=0_3×1, ε∈(0, 1］来描述这一慢时变过程更为贴切，由此可得系统扩展状态方程为

设计如下观测器：

式中：为观测向量；=[_1  2  3]^T为扰动观测向量；W、N为观测器的虚拟控制向量；L=diag[l₁ l₂ l₃]为系数矩阵。

将式(19)和式(20)相减，得到

式中：为观测误差向量；为扰动观测误差向量。

选取滑模超平面S_e=，令虚拟控制量为

式中：N=Hsgn(S_e), H=diag[h₁ h₂ h₃]为系数矩阵；G=diag[g₁  g₂  g₃]为系数矩阵。

如果能选取合适的参数矩阵G和H，满足可达性条件S_e^T 0，则到达滑模面后，S_e==0，根据等效控制的思想，可得扰动观测误差为

根据以上分析，选择Lyapunov函数为V₃=S_e^TS_e/2，求导得

此时如果矩阵G正定，则

所以只要保证h₁>，h₂>，h₃>，即可满足可达性条件 0。

到达滑模面后，扰动观测器误差分数阶微分方程为

根据分数阶线性系统的稳定性定理^[24]，只要保证|arg(eig(-L))|>επ/2，将收敛于零, 很明显矩阵L正定即可满足要求。

需要注意的是，N中含有切换项sgn(S_e)，因此N可以看成是真正的扰动误差和高频抖动信号Z的叠加，可写为N=-Z，扰动观测误差分数阶微分方程可重写为

进行分数阶Laplace变换^[25]，求得分数阶传递函数矩阵为

可以看出，通过调节系数矩阵L和分数阶阶数ε可有效滤除高频分量Z，从而实现对扰动的准确观测。

5 仿真分析

为了验证本文设计的控制器的有效性，将其与PI控制、文献[11]中提出的传统分数阶滑模控制器(CFOSMC)以及整数阶滑模控制器(IOSMC)分析比较，IOSMC是指NFOSMC中分数阶阶数α=1时对应的情况。根据文献[11]，得出CFO-SMC相应的控制律为

电液伺服泵相关参数为：直流侧母线电压U_DC=270 V，额定功率P_N=20 kW，额定电流I_N=80 A，额定转速n_N=8 000 r/min，额定扭矩T_N=24 N·m，排量D=5 mL/r，泄漏系数C_l=2×10^-13 m³/s/Pa，定子绕组电阻R=0.025 Ω，电感L_d=L_q=0.161 mH，转子永磁磁链ψ_f=0.056 4 Wb，转动惯量J=0.004 kg·m²，摩擦系数b=0.001 07+0.000 2=0.001 27 N·m/rad/s，极对数p=3，q轴电流限幅值i_qm=100 A。

NFOSMC控制器仿真参数为：α=0.2，λ=λ₁=λ₂=1.5，ρ=ρ₁=ρ₂=0.6，k₁=0.25，k₂=0.5，k₃=0.01，k₄=0.02，k₅=1，k₆=2，ξ=2 000，η=150，ξ_d=100，η_d=20，ξ_q=500，η_q=50。

CFOSMC控制器仿真参数为：α₁=0.2，ξ=2 000，η=150, ξ_d=100，η_d=20，ξ_q=500，η_q=50，c=0.01。

FODOB仿真参数为：ε=0.6，L=diag[70  100  100]，G=diag[2 000  3 000  3 000]。

电液伺服泵控制结构如图 2所示。采用MATLAB/Simulink软件，仿真在以下2种情况下进行：

1) 电液伺服泵无外负载，给定转速为额定值n_d=8 000 r/min。为了防止Windup现象，PI控制采用文献[26]中的Anti-Windup方法，其中速度环参数为：K_P1=0.5，K_I1=5，K_C=15；q轴电流环参数为：K_P2=4，K_I2=10；d轴电流环参数为：K_P3=10，K_I3=150。

图 3为NFOSMC和PI控制的仿真对比。从图 3(a)的速度阶跃响应曲线可以看出，NFOSMC的转速响应速度要稍快于PI控制，而且可以做到无超调跟随，PI控制由于采用了Anti-Windup方法，转速超调虽然一定程度上得到了抑制，但仍然存在超调，且收敛速度较慢。从图 3(b)的q轴电流响应曲线可以发现，在加速阶段，实际上q轴电流给定值i_q^*已经达到限幅值100 A，但是NFOSMC仍然可以很好地跟随限幅值，而PI控制由于Anti-Windup方法的使用，速度环过早地退出了饱和，因此已经不能跟随i_q^*，说明NFOSMC在加速阶段可以产生更大的加速扭矩，这也正是NFOSMC转速响应速度要快于PI的原因。从图 3(c)的d轴电流响应控制曲线可以明显看出，PI控制的直轴电流i_d虽然可以收敛于i_d^*=0，但是存在一定的动态波动，而采用NFOSMC时，i_d可快速跟随指令i_d^*=0，几乎无波动。

图 4为NFOSMC与CFOSMC、IOSMC的仿真对比。从图 4(a)可以看出，三者均能无超调跟随n_d，NFOSMC速度稍快于CFOSMC、IOSMC。图 4(b)、图 4(c)表明，CFOSMC、IOSMC均产生了严重的抖振，其中速度环输出信号i_q^*的抖振幅值范围为-25~35 A，IOSMC的u_q抖振幅值范围为120~160 V，CFOSMC的u_q抖振幅值范围为100~180 V，而采用NFOSMC时i_q^*和u_q均非常平滑，几乎无抖振。另外，由式(25)~式(27)可以看出，CFOSMC控制率中含有误差e的高阶微分项D^α₁+1e，经过多次仿真发现α₁的取值范围仅仅为0≤α₁≤0.2，取值范围很窄，否则很容易引入噪声，而NFOSMC的分数阶阶数α的取值范围为0≤α≤1时都能保证系统稳定收敛。

2) 为了验证NFOSMC的抗扰能力和FODOB的观测性能，电液伺服泵空载起动，给定转速为额定值n_d=8 000 r/min，在t=0.5 s时加入20 N·m的外负载，t=1.5 s时减小为10 N·m，并且在t=2 s时通过让定子绕组增大为额定值的1.2倍，即0.03 Ω来模拟参数摄动。图 5为FODOB观测结果。可以看出，FODOB对于扰动F₁、F₂和F₃均可平滑、准确观测，而且据此还可计算出外加负载的估计值_p=₃/J，定子绕组电阻的估计值=-L_q2/i_q+R。

图 6(a)为受扰时NFOSMC和PI控制的对比曲线。可以看出，当电阻发生20%的波动时，转速在2种策略下都未出现太大波动，主要是由于电液伺服泵的电感很小，该参数扰动PI控制器就可以快速消除，但是从图 5(c)中可以发现FODOB仍可以准确地观测到这一电阻参数波动。而当突加外负载时，图 6(a)表明PI控制时转速波动很大，最大转速降几乎已经达到1 000 r/min，而采用NFOSMC且无FODOB补偿时，相比较PI控制，转速降减小，转速收敛速度加快，说明抗扰能力要强于PI控制。而在采用FODOB扰动补偿后，抗扰能力进一步增强。

图 6(b)为受扰时NFOSMC与CFOSMC、IOSMC的对比曲线。可以看出，当受到外负载扰动时，切换增益仍取ξ=2 000，由于该值较小，对于CFOSMC和IOSMC来说已经不能满足可达性条件，滑模变量只能到达滑模面的一个邻域内，因此转速出现了较大的稳态误差，如果要满足可达性条件，必须选择更大的切换增益ξ，实际上当外部扰动为20 N·m时，可以计算出此时切换增益至少应为ξ=20/J=20/0.004=5 000，而这势必会造成抖振进一步增大。而NFOSMC在无FODOB补偿时，切换增益同样取ξ=2 000，转速仍能够跟随n_d，说明NFOSMC自身的抗扰能力要强于CFOSMC和IOSMC，主要原因是由于NFOSMC的切换增益是根据扰动的分数阶上界|D^1-αF₃|确定，而CFOSMC和IOSMC的切换增益是直接根据扰动|F₃|的上界确定，随着时间推移，分数阶上界|D^1-αF₃|的值是变化的，根据分数阶微分的衰减记忆特性，该值必然会小于|F₃|，这就说明相比较CFOSMC和IOSMC，NFOSMC可以用同样大的切换增益抵御更大的扰动。同样，NFOSMC在通过FODOB扰动补偿后，抗扰能力进一步提高。

6 结 论

本文设计了一种新型分数阶滑模控制器(NFOSMC)和扰动观测器(FODOB)，通过Lyapunov稳定性定理证明了控制器能在有限时间内收敛，并将其应用于电液伺服泵的速度环和电流环控制，通过分别与PI控制、整数阶滑模控制器(IOSMC)和传统的分数阶滑模控制器(CFOSMC)对比分析, 可以得出以下结论：

1) 相较于PI控制，转速的收敛速度要快于PI控制，而且可无超调跟随转速；对于q、d轴电流的跟踪速度更快、更加平稳。

2) 相较于整数阶滑模控制器和传统的PD型分数阶滑模控制器，转速的收敛速度要略快于两者。利用切换项的分数阶积分滤波作用，去抖振效果明显，可以实现平滑无抖振滑模控制；去除了传统PD型分数阶滑模控制器中的高阶分数阶微分项，避免了噪声引入，扩大了分数阶阶数取值范围。

3) 抗扰性方面，即使没有观测器补偿，本文控制器的抗扰能力也要强于三者。设计的分数阶扰动观测器也能平滑、准确观测扰动，通过前馈补偿抗扰能力能够得到进一步提高。

4) 应该注意到目前分数阶微积分的实现基本都是通过Oustaloup滤波器法^[27]近似为整数阶来实现的，而整数阶阶数至少为4阶，因此需进一步研究相应的最优降阶算法，以降低分数阶控制器的应用难度。