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李磊, 李国林, 马云鹏. 基于非圆信号的单次快拍二维DOA新算法[J]. 北京航空航天大学学报, 2014, 40(11): 1609-1614
Li Lei, Li Guolin, Ma Yunpeng. New method for single-snapshot two-dimensional direction of arrival estimation based on noncircular signals[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2014, 40(11): 1609-1614.
基于非圆信号的单次快拍二维DOA新算法
李磊1, 李国林1, 马云鹏2    
1. 海军航空工程学院 研究生管理大队, 烟台 264001;
2. 北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100191
收稿日期: 2014-01-14; 网络出版日期: 2014-05-27
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61102165).
作者简介: 李磊(1987-),男,山东济宁人,博士生,lilei19880229@gmail.com.
摘要：针对双平行线阵相干信号二维波达方向(DOA,Direction of Arrival)快速估计问题,利用信号的非圆特性,提出了一种基于非圆信号的单次快拍数据的二维DOA算法.建立新的阵列坐标系,对阵列接收单次快拍数据进行共轭运算,通过数据重新链接得到伪快拍数据,阵列孔径扩展1倍.仅需要对3个伪单快拍矩阵的扩展矩阵进行一次奇异值分解即可实现二维DOA估计和解相干.该算法计算复杂度低,估计精度高,适用于对二维DOA估计实时性要求高的应用背景.计算机仿真结果验证了方法的有效性.
关键词： 非圆信号     单次快拍     奇异值分解     波达方向估计     相干信号    
New method for single-snapshot two-dimensional direction of arrival estimation based on noncircular signals
Li Lei1, Li Guolin1, Ma Yunpeng2     
1. Graduate Students' Brigade, Engineer of NAEI, Yantai 264001, China;
2. School of Aeronautic Science and Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China
Abstract:To resolve the problem of fast estimating two-dimensional direction of arrival (DOA) in coherent signals environment with two parallel linear arrays, a new method for single-snapshot two-dimensional DOA estimation was presented based on noncircular signals. New coordinate system was established and array received data was changed to its conjugate data. Pseudo snapshot data was made and array aperture was doubled by reconnecting data. The coherence between the signals was solved and two-dimensional DOA can be estimated only by using singular values decomposition (SVD) for extended matrix which was made of three pseudo snapshot matrix. The method has low complex degree and high estimation accuracy, so it is suitable for DOA estimation of high real-time attribution background. Simulation indicates that the method is effective.
Key words: noncircular signals     single-snapshot     singular values decomposition (SVD)     direction of arrival (DOA) estimation     coherent signals    

波达方向(DOA,Direction of Arrival)估计是阵列信号处理的主要研究方向之一[1,2,3,4,5,6],为提高波达方向估计算法的实时性,近年来涌现出很多低计算复杂度的算法.

二维DOA估计的运算量主要来自对阵列接收数据协方差矩阵的特征分解和谱峰搜索以及参数配对.文献[7]提出的波达方向矩阵法(DOAM)可以避免谱峰搜索而直接计算出二维DOA参数,且参数自动配对;文献[8]提出了一种基于多级维纳滤波器的快速DOA估计方法,不需要估计协方差矩阵和特征分解,运算量大大减少;文献[9]提出一种基于双L阵的传播算子(PM,Propagator Method)算法,利用线性运算代替特征分解,且参数能快速配对.但以上算法都要在时域上进行快拍累积及批处理,实时性仍然没有较大的改善.近年来出现了许多基于单次快拍数据的波达方向估计算法,一维DOA估计单次快拍算法如伪协方差矩阵法[10]和单次快拍MUSIC算法[11],二维DOA估计单次快拍算法如文献[12]基于波达方向矩阵法的思想提出了单次快拍波达方向矩阵法(SS-DOAM,Single-Snapshot-DOAM),计算复杂度大幅降低,但阵列孔径损失严重;文献[13]提出了一种单次快拍二维ESPRIT算法,需要构造6个等效协方差矩阵,并扩展成更大维数的协方差矩阵进行特征分解,计算复杂度高,同时阵列孔径损失严重.

非圆信号类测向算法的核心思想是利用信号非圆特性将阵列有效阵元数和孔径同时扩展,从而提高算法的多信号估计能力[14,15].为此,本文在双平行线阵的基础上提出一种基于非圆信号的单次快拍二维DOA算法,该算法对双平行线阵建立新的坐标系,对阵列接收单次快拍数据进行共轭运算并重新进行数据链接,得到扩展的伪单次快拍数据.另一方面,仅需对3个伪单快拍矩阵构造的扩展矩阵进行一次奇异值分解即可实现二维DOA估计和解相干.该算法避免了文献[13]中等效协方差矩阵及其扩展矩阵的复杂构造过程,降低了运算复杂度.由于运用了信号的非圆特性,本文算法使阵列的有效阵元数和孔径扩展了1倍,阵列的谱分辨力得到提高. 1 阵列信号模型

为方便下文伪单次快拍的构造,构建图 1所示阵列模型.阵列由子阵X和子阵Y构成,共2(M+1)个阵元,其中子阵X的阵元编号分别为0,1,…,M,子阵Y平行于子阵X,编号分别为0,1,…,M.阵列坐标原点位于两子阵第1个阵元连线的中点,子阵平行于x轴,且与x轴的距离均为d,阵元间距为D.

图 1 阵列模型Fig. 1 Array model
图选项

考虑空间有N个同中心频率、波长为λ的窄带远场非圆信源从方向{(αk,βk,γk),k=1,2,…,N}入射到阵列系统,αk,βk和γk分别表示第k个信源sk(t)分别与x，y和z轴之间的夹角,信源与轴线之间夹角满足几何关系cos2αk+cos2βk+cos2γk=1,可以看出αk,βk和γk中只有两个独立角度元素,则信源sk(t)的波达方向可由(αk,βk)唯一确定.

以坐标系原点为参考点,对于子阵X,第i个阵元输出信号可表示为

则子阵X的输出信号矢量可表示为
式中
Ax(α)为(M+1)×N维阵列流型矩阵;a(αk)为对应的方向向量;Nx(t)=[nx0(t),nx1(t),…,nxM(t)]T为阵列X的噪声矢量,且有
对于子阵Y,第i个阵元的输出信号可表示为
则子阵Y的输出信号矢量可表示为
式中Ny(t)=[ny0(t),ny1(t),…,nyM(t)]T为子阵Y的噪声矢量. 2 非圆信号单次快拍二维DOA算法 2.1 基于非圆信号的阵列孔径扩展

考虑信号s,如果任意旋转seiθ的一阶和二阶统计特性具有旋转不变性,即则称s为非圆信号[16].由于常用的BPSK,AM,ASK等信号的非圆率均为1,本文只研究零初相的非圆率为1的信号,此时满足si(t)=si*(t).

对X(t)和Y(t)分别进行共轭处理,则有

现将X(t),X*(t),Y(t),X*(t)重新进行数据链接,构建扩展的伪快拍数据如下:
式中,ΠΜ为(M+1)×(M+1)维的线置换矩阵,反对角线上元素为1,其余元素为0.
由式(18)所示bxk(αk,βk)表达式可以看出,利用信号非圆特性构造的伪快拍数据等效于在x轴的负向端扩展了1倍的孔径,扩展后的虚拟阵列模型如图 2所示.

图 2 扩展后的虚拟阵列系统模型Fig. 2 Dummy array model after expansion
图选项

Gx(t)的行数为2M+2,且第M+1行数据与第M+2行数据相同,即阵列孔径扩展后存在重复阵元(编号为0的阵元).为消除重复阵元,令G′x(t)=[GxT(t)(1:M,:),GxT(t)(M+2:2M+2,:)]T.同理,为消除子阵Y′重复阵元,令G′y(t)=[GyT(t)(1:M,:),GyT(t)(M+2:2M+2,:)]T,则G′x(t)和G′y(t)满足以下关系:

2.2 基于奇异值分解的单次快拍DOA估计

将子阵X′划分为两个子阵,子阵1由阵元-(M-1),…,M-1组成,子阵2由阵元-(M-2),…,M组成.利用子阵1的单次快拍数据构造等效协方差矩阵C1:

式中,S=diag[s1(t),s2(t),…,sN(t)]为等效的信号协方差矩阵,矩阵S的秩只与信源个数有关,因此可以实现相关信号完全解相干;A为Ax(α)Φ1的前M行方向矢量矩阵；N1为M×M维噪声矢量.

利用子阵2的单次快拍数据构造等效协方差矩阵C2:

式中

利用子阵Y′的单次快拍数据构造等效协方差矩阵C3:

式中

为避免文献[13]中复杂的矩阵构造及特征分解过程,本文构造矩阵C=[C1,C2,C3]T,并对矩阵C进行奇异值分解(C=UΣVH).由奇异值分解的意义可知,若矩阵C的秩为r,则酉矩阵U的前r列组成C的列空间的标准正交基[17].因此,奇异值分解得到的信号子空间可表示为US=U(:,1:N),而奇异值分解的信号子空间与阵列流型张成的信号子空间相等,即满足如下关系:

则信号子空间之间满足下列关系式:

由式(25)及式(26)求最小二乘解,可得

由Φ2和Φ3Η的形式可知,Φ2只和信源入射角α有关,Φ3只和信源入射角β有关,分别对Ψ1和Ψ2进行特征分解即可得到入射信号的二维波达方向.理论上,对Ψ1和Ψ2进行特征分解可得到同样的特征向量矩阵T,但实际运算中两次特征分解是独立进行的,导致两次特征分解的特征向量矩阵T1和T2的排序可能不同,但同一信号在两次特征分解中的特征向量强相关,可构造式(29)所示排序矩阵R,依据矩阵R每列的最大值来调整β的顺序,即可实现二维角度参数匹配.
3 数值仿真分析

为验证所提算法的DOA估计性能,设计如下仿真实验,并以文献[7]中DOAM算法及文献[13]中SS-ESPRIT算法作为对比算法.设定子阵阵元数M=20,D=λ/2,d=λ/4,信噪比的定义为10 lg(σk2/σ2),其中σk2表示信号功率.角度搜索区间为[-90°,90°],搜索步长为1°,仿真中不考虑阵元幅相误差及互耦等影响.

仿真1 不相关信号DOA估计.

考虑3个不相关等功率非圆信号分别从方向(30°,60°),(45°,45°)和(80°,80°)入射至双平行线阵.在10 dB信噪比下,分别用本文算法、DOAM算法和SS-ESPRIT算法进行100次的蒙特卡洛仿真,3种算法DOA估计结果的星座图如图 3所示,其中DOAM算法采用快拍数为200.对比可知,本文只用阵列一次快拍数据即可实现对入射信号的二维DOA估计,且估计性能优于DOAM算法和SS-ESPRIT算法,这是由于本文算法将阵列阵元数和孔径扩展了1倍,等效于M=40,阵列谱分辨力得到提高.

图 3 不相关信源估计结果的星座图Fig. 3 Constellation diagram of uncorrelated signal estimation result
图选项

仿真2 相关信号DOA估计.

不改变阵列模型及信号入射方向,改变入射信号的相关性,使其完全相干.在20 dB信噪比下,分别进行100次的蒙特卡洛仿真,3种算法DOA估计结果的星座图如图 4所示.对比可知,本文算法可对相关信号实现解相干,且估计性能优于SS-ESPRIT算法,这是由于构造的等效信号协方差矩阵的秩仅与信号个数有关,而与其相关性无关.此时DOAM算法失效.

图 4 相干信源估计结果的星座图Fig. 4 Constellation diagram of coherent signal estimation result
图选项

仿真3 阵列自由度分析.

设定子阵阵元数M=8,在信噪比为30 dB的背景下,考虑6个非圆信号分别从方向(10°,60°),(30°,40°),(40°,20°),(55°,30°),(70°,50°),(85°,70°)入射至双平行线阵,此时阵列处于过载状态,但阵列孔径扩展效应导致自由度增大,因此仍可实现对入射信号的DOA估计(见图 5),此时SS-ESPRIT算法已经失效.从扩展的伪单次快拍构造过程和DOA估计过程可知,本文算法中M+1对阵元可实现M-1个信号的DOA估计,SS-ESPRIT算法则需要4M个阵元才可实现对M-1个信号的DOA估计.

图 5 过载环境下的DOA估计(本文算法)Fig. 5 DOA estimation in the presence of overload by the proposed algorithm
图选项

仿真4 估计性能分析.

考虑阵列和信号模型与仿真1相同,信噪比以1 dB的步长在10~30 dB区间递增,蒙特卡洛仿真次数为100.将SS-ESPRIT算法作为对比算法,图 6给出了不同信噪比下两种算法的均方根误差.信号均方根误差定义为式(30)形式.对比可知,由于阵列孔径扩展,本文具有更小的均方根误差,虽然只使用了单次快拍数据,仍然可以将误差控制在3°以内.


图 6 均方根误差随信噪比变化曲线Fig. 6 Root mean square error vs signal-to-noise ratio
图选项
4 结 论

本文提出了一种基于非圆信号的单次快拍二维DOA新算法,具有以下优点:

1) 利用信号的非圆特性,对阵列接收数据进行共轭重排,使阵列孔径扩展1倍,阵列自由度增大1倍,信息利用率及谱分辨力得到提高.与SS-ESPRIT算法相比,本文算法具有更好的估计性能,仿真结果证明了该算法的均方根误差相对较小.

2) 仅需对阵列单次快拍数据构造的扩展矩阵进行一次奇异值分解即可实现信号的完全解相干及二维DOA估计,计算复杂度低,实时性好.

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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2013.0770
北京航空航天大学主办。
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李磊, 李国林, 马云鹏
Li Lei, Li Guolin, Ma Yunpeng
基于非圆信号的单次快拍二维DOA新算法
New method for single-snapshot two-dimensional direction of arrival estimation based on noncircular signals
北京航空航天大学学报, 2014, 40(11): 1609-1614
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2014, 40(11): 1609-1614.
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2013.0770

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收稿日期：2014-01-14
网络出版日期: 2014-05-27

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