基于压电材料的梁、板式结构的减振理论、方法与技术在近一二十年期间已有了长足发展.在这些研究中,压电材料多用于设计成离散的传感器或驱动元件[1,2,3],而将其作为结构系统的一部分、综合考虑该结构系统机电耦合动力学特性的研究还不多见.2001年Dell’Isola等人将分布在板上的压电片通过电路连接成网络,研究了其对板的减振效果[4,5];2003年开始Wang等人将这种思想用于叶盘结构[6,7].他们的研究表明,压电网络可使结构系统中的能量重新分布,从而改善失谐叶盘结构振动局部化现象.文献[8]在机械场无关的结构之间构建压电网络,对自供能振动抑制进行了探索,研究结果进一步证明,即便没有机械关联,一种结构的振动能量也可以通过压电网络转移至另一种结构,并可以被利用对另一结构的振动进行抑制.本文作者也对压电网络板的建模方法、频率特性以及机电耦合特性进行了深入的研究[9].本文在文献[9]的基础上进一步研究了压电网络板的振动控制原理和振动控制效果,为压电网络板的工程应用提供理论参考. 1 机电耦合动力学方程及其求解
压电网络板由图 1所示的压电复合板和图 2所示的电路网络两部分组成[9].电路网络将压电复合板上均匀分布的压电作动器连接成整体,其特点是连接各相邻压电作动器的电路完全相同.
压电网络板中,压电片之间可以选择不同的电路或电学元件,本文主要涉及图 3所示3种情况.图 3a表示压电片之间的电路包含电感和电阻并且电感电阻并联,对应的压电网络板称为电感电阻并联型压电网络板,简写为LR-PEM;图 3b为电感型压电网络板的电路形式,即压电片之间的电路仅含电感,在本文中用L-PEM表示;图 3c为电阻型压电网络板的电路形式,即压电片之间的电路仅含电阻,本文用R-PEM表示.
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| 图 3 压电片之间的电路形式 Fig. 3 Circuit between two different PZT |
参照文献[9]中建立压电网络板动力学方程的过程,可建立如下压电网络板在任意机械场激励下的无量纲机电耦合动力学方程[10,11]：
压电网络板的受迫振动响应与边界条件直接相关,本文以四边简支板为例，对压电网络板的振动控制原理及控制效果进行研究.
压电网络板的响应函数w和φ可分别表示为方程(1)中β=0时的两个解耦微分方程(无阻尼)的特征解函数
rm和re之线性组合,即
rm和re对应的特征值;
分别表示沿板面x和y方向的半波数.给定r值,方程组(3)表示相同阶次的板和电路网络的模态组成的等效压电系统,简称为(第r阶)子模态压电系统.分别(独立)求解方程组(3)，可得到系数ξrm和ξre(子模态压电系统的响应),再将其代入到式(2)中，即可得到压电网络板的响应解.
式(2)和式(3)表明压电网络板的响应为子模态压电系统响应的线性叠加,因此压电网络板的响应分析主要是子模态压电系统响应的分析. 2 压电网络板控制振动的原理
没有外接电源的压电网络板的振动控制属于被动控制,被动控制方法主要是通过消耗(或转移)被控结构中的振动能量来达到减振的目的.下面将通过分析压电网络板在脉冲激励下，其子模态压电系统的响应-时间曲线以及能量-时间曲线来分析压电网络板中机械能-电能的转换以及能量耗散规律.本节及后文3.2节的响应以计算时域内子模态压电系统机械场最大响应为1作归一化处理.
电感型压电网络板L-PEM在脉冲激励下(第r阶)子模态压电系统的响应幅值随时间的变化如图 4所示.图 4表明此时振幅成周期变化.
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| 图 4 L-PEM子模态压电系统响应-时间曲线 Fig. 4 Response-time curves of L-PEM’s sub-modal piezoelectric system |
图 5表示L-PEM在脉冲激励下子模态压电系统中机械能与电能随时间的变化规律.这里机械能为动能和弹性势能之和;电能为电容能和电感能之和.从图中可以看出系统中的部分能量在机械能和电能之间来回转换,其转换周期明显大于系统的振动周期;由于系统无阻尼,子模态压电系统的总能量保持不变.
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| 图 5 L-PEM子模态压电系统能量-时间曲线 Fig. 5 Energy-time curves of L-PEM’s sub-modal piezoelectric system |
图 4和图 5表明：L-PEM振动时部分振动能量将在压电复合板和电路网络中交替出现从而影响结构的振动幅值.
图 6表示电阻型压电网络板R-PEM在脉冲激励下(第r阶)子模态压电系统的响应幅值随时间的变化规律.从图中可以看出振幅呈衰减趋势.
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| 图 6 R-PEM子模态压电系统响应-时间曲线 Fig. 6 Response-time curves of R-PEM’s sub-modal piezoelectric system |
图 7表示R-PEM在脉冲激励下子模态压电系统的机械能与电能随时间的变化规律.此时电能仅包括电容能.从图中可以看出电能在总能量中占的比重很小;电能在电路中被消耗从而导致系统总能量减少.
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| 图 7 R-PEM子模态压电系统能量-时间曲线 Fig. 7 Energy-time curves of R-PEM’s sub-modal piezoelectric system |
图 6和图 7表明：R-PEM振动时能量在电路网络中被电阻消耗从而导致结构振动幅值呈衰减趋势.
电感电阻并联型压电网络板LR-PEM在脉冲激励下(第r阶)子模态压电系统的响应幅值随时间的变化规律如图 8所示.从图中可以看出,响应幅值周期波动的同时呈衰减趋势.
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| 图 8 LR-PEM子模态压电系统响应-时间曲线 Fig. 8 Response-time curves of LR-PEM’s sub-modal piezoelectric system |
图 9表示LR-PEM在脉冲激励下子模态压电系统的机械能与电能随时间的变化规律.从图中可以看出部分能量在机械场和电路中来回转换的同时在电路中被消耗,系统总能量快速降低.
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| 图 9 LR-PEM子模态压电系统能量-时间曲线 Fig. 9 Energy-time curves of LR-PEM’s sub-modal piezoelectric system |
图 8和图 9表明：LR-PEM振动时部分振动能量在压电复合板和电路网络中交替出现,并在电路网络中被消耗,从而导致结构振动幅值在波动的同时呈衰减趋势.
对图 4~图 9的综合分析表明,压电网络板可以通过以下两种途径来控制振动：
1) 通过能量在压电复合板和压电网络中来回转换影响结构振动幅值;
2) 通过电阻消耗电能,降低系统振动能量从而降低结构振动幅值.
L-PEM通过第1种途径控制振动,由于没有耗能元件,振动不会随着时间衰减;R-PEM通过第2种途径控制振动,由于没有储能元件,单位时间内可消耗的电能少;LR-PEM同时利用途径1和途径2控制振动,电路中既有储能元件又有耗能元件,储能元件增加了耗能元件单位时间内可消耗的电能.
根据压电网络板控制振动的途径,影响压电网络板振动控制效果的因素主要有：机械能-电能转换能力;阻尼大小.机械能-电能转换能力由电感值决定,阻尼大小由电阻值决定. 3 压电网络板的振动控制效果 3.1 最优电学参数 3.1.1 LR-PEM
简谐激励下方程(3)的解可以直接假设为
含电感的机电耦合系统频响曲线在共振频率附近存在两个特殊点S：(λS,HLR(λS,γ))和T：(λT,HLR(λT,γ)),它们的位置及响应值与电阻无关[11].易知当这两个点的响应幅值相等且为响应峰值时,系统在共振频率附近有最小的响应峰值,此时对应的电感、电阻为最优电学参数.确定LR-PEM最优电学参数的方法如下.
首先,通过下面的等式确定与电阻无关的S点和T点对应的频率λS和λT：
然后,令S点和T点响应幅值相等可以确定最优电感值：
最后,以S点和T点为响应峰值可以确定最优电阻值：
通过式(7)~式(9)确定针对不同子模态压电系统的最佳电感和最佳电阻(Lopt,Ropt)r,如图 10所示.从图中可以看出,不同子模态压电系统的最佳电感值随着阶次的升高逐渐变小.值得注意的是针对不同子模态压电系统的最佳电阻相同.
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| 图 10不同子模态压电系统的最佳电学参数 Fig. 10 Optimal electric parameters of different submodal piezoelectric systems |
将电感设置为无穷大,R-PEM子模态压电系统的位移传递函数可由式(6)得到：
通过下式确定F点的位置λF：
将式(12)代入式(14)得到无量纲形式的最佳电阻：
式(15)表明R-PEM的最佳电阻同样与频率无关. 3.2 子模态压电系统响应行为
3.1节指出压电网络板振动控制具有最优电学参数并给出了确定最优电学参数的方法.本小节研究针对压电网络板的某一阶子模态压电系统给出最优电学参数时,各阶子模态压电系统的响应行为.不失一般性,本节研究针对第1阶子模态压电系统设计最优电学参数的情况.
图 11和图 12分别表示单位脉冲激励下LR-PEM的第1阶子模态压电系统的响应-时间曲线和能量-时间曲线.结果表明,在一个机械能-电能转换周期内,大量机械能被转换到电路中消耗掉(见图 12),子模态压电系统的振幅很快衰减到较小值(见图 11).
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| 图 11 LR-PEM第1阶子模态压电系统响应-时间曲线 Fig. 11 Response-time curves of LR-PEM’s 1st sub-modal piezoelectric system |
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| 图 12 LR-PEM第1阶子模态压电系统能量-时间曲线 Fig. 12 Energy-time curves of LR-PEM’s 1st sub-modal piezoelectric system |
图 13和图 14分别表示相同工况下第2阶子模态压电系统的响应-时间曲线和能量-时间曲线.很明显,其机械能-电能转换效率不高,图 13中响应振幅衰减形式明显区别于第1阶子模态压电系统,且衰减速率比之较低.
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| 图 13 LR-PEM第2阶子模态压电系统响应-时间曲线 Fig. 13 Response-time curves of LR-PEM’s 2nd sub-modal piezoelectric system |
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| 图 14 LR-PEM第2阶子模态压电系统能量-时间曲线 Fig. 14 Energy-time curves of LR-PEM’s 2nd sub-modal piezoelectric system |
上述分析表明,针对LR-PEM的某一阶子模态压电系统给出最优电学参数时,这一阶子模态压电系统的振动能量能够被很快地转换到电路中消耗掉,降低响应幅值;其他子模态压电系统中机械能-电能转换不明显,振动响应衰减较慢.
3.3 多模态控制效果
压电网络板的响应为子模态压电系统响应的线性组合,各阶子模态压电系统的共振峰值将出现在压电网络板频响曲线的不同频段,主导振动.本小节研究针对压电网络板的某一阶子模态压电系统给出最优电学参数时,压电网络板在一个较宽频带内的减振效果.响应以计算频带内压电网络板短路工况下的最大响应为1作归一化处理.
图 15表示LR-PEM在简谐激励下的振动控制效果.LR-PEM具有针对第1阶子模态压电系统的最优电学参数,从图中可以看出,压电网络板除了在最优设计的共振频率附近有很好的减振效果外,在其他阶共振频率附近也有不同程度的减振效果.
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| 图 15 LR-PEM振动控制效果 Fig. 15 Effectiveness of LR-PEM in vibration control |
图 16表示R-PEM在简谐激励下的振动控制效果.可以看出,R-PEM在各阶共振频率附近都有一定的减振效果.
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| 图 16 R-PEM振动控制效果 Fig. 16 Effectiveness of R-PEM in vibration control |
图 17对比了部分共振频率附近LR-PEM与R-PEM的减振效果.从图中可以看出,在最优设计的共振频率附近(r=1),LR-PEM的减振效果明显优于R-PEM;随着共振频率远离最优设计点,R-PEM的减振效果更好.
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| 图 17 LR-PEM与R-PEM振动控制效果对比 Fig. 17 Comparison of effectiveness in vibration control between LR-PEM and R-PEM |
综上所述,压电网络板具有如下振动控制效果：
1) 针对某一阶共振频率设计最优电学参数,可使LR-PEM在该共振频率附近有很好的振动控制效果,同时对临近的共振峰依然有一定的阻尼减振效果.
2) R-PEM能同时在所有共振峰处获得最佳的阻尼减振效果.
3) LR-PEM与R-PEM相比,LR-PEM在设计点附近振动控制效果更好;随着共振峰位置远离设计点,R-PEM具有更好的振动控制效果. 4 结 论
本文将压电网络板的响应表示为子模态压电系统响应的线性组合,通过对子模态压电系统响应行为的分析,揭示了压电网络板的振动控制原理,在此基础上分析了压电网络板的振动控制效果.本文主要获得以下结论：
1) 压电网络板通过两种途径控制振动.压电网络使得部分能量在板和网络中来回转化;压电网络中电阻消耗振动能量.
2) LR-PEM最佳电感随频率变化,最佳电阻与频率无关;R-PEM最佳电阻同样与频率无关.
3) LR-PEM和R-PEM都具有多模态控制效果;LR-PEM在设计点附近更有优势.
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