表1(Table 1)
波束形成是一种空间滤波技术,主要任务是通过传感器阵列接收特定方向的信号,同时抑制其他方向的信号(视为干扰信号或噪声)[1].波束形成技术广泛应用于雷达[2]、声呐[3, 4]、通信[5]和地震学[6]等领域.文献[1]提供了3种时域宽带固定波束形成的设计方法:凸优化法、最小二乘法和本征滤波(eigenfilter)的方法.基于本征滤波的波束形成算法,不需要逐步迭代优化,也可以避免最小二乘法中的大矩阵求逆运算,是一种高效的波束形成设计方法.
本征滤波器的系数由一组特征向量的元素组成,该方法最早为设计数字滤波器提出[7],后来扩展到波束形成器的设计.Korompis等提出一种最大能量阵列代价函数[8],即通带能量与阻带能量之比,可以通过特征滤波法求其最大解,从而设计固定时域宽带波束形成器.2002年，Doclo和Moonen提出一种总体最小均方本征滤波方法[9],优化宽带阵列响应与参考响应的均方误差,构造波束形成器,2003年又提出远场、近场和两者混合的情况下基于本征滤波的宽带波束形成方法[10].文献[8, 9, 10]提出的本征滤波的波束形成方法的缺点是,未设计阵列响应的频率不变性和零陷.由于传统宽带波束形成的主瓣宽度随频率变化,当目标信号从主瓣方向但非主极大方向入射时,信号波束输出频谱就会失真,设计频率不变性可以解决这个问题,主瓣内保持频率不变性可以得到固定束宽波束形成器.近年来,国内外学者对波束形成器的频率不变性进行了深入的研究[11, 12, 13, 14, 15].Liu和Weiss将阵列响应构造为与频率无关的二维傅里叶变换形式[11],实现了频率不变性.Duan等[12]提出了阵列空间响应偏差(Spatial Response Variation,SRV),Zhao等[13]、范展和梁国龙[14]、陈明建和罗景青[15]分别使用SRV来获取波束形成的频率不变性.另外,随着应用环境越来越复杂,波束形成的零陷设计也尤为重要.范展和梁国龙在基于凸优化的宽带波束形成方法中,对不等式约束的干扰方向进行展宽,获得了展宽零陷的效果[14].
为实现基于本征滤波波束形成的频率不变性和零陷设计,本文提出了基于最大能量阵列代价函数和本征滤波的波束形成的改进方法.首先将SRV整合入最大能量阵列代价函数,以获取频率不变性;然后使用提供的两种零陷设计方法构造约束优化问题;最后由本征滤波法求解.两种零陷设计方法分别为:扩展旁瓣能量法(对旁瓣能量中干扰方向的阵列响应赋予一个相对较大的权值,形成扩展旁瓣能量)和线性约束法(对干扰方向阵列响应增加线性约束).仿真结果验证了本文两种方法在频率不变性和零陷设计上的有效性,同时均能获得低旁瓣增益,证明了本文方法的有效性和良好性能.
1 时域宽带波束形成模型考虑M元各向同性的阵元组成的任意结构阵列,图 1为时域宽带波束形成器的结构图.图中△为时延一个采样间隔,每个阵元接收到的信号经过一个J阶的有限长单位冲激响应(FIR)滤波器,然后在输出端进行叠加,形成波束输出,写成向量形式为
式中:w=[w0,0,w1,0,…,wM－1,0,w0,1,w1,1,…,wM－1,J－1]T;x=[x0(t),x1(t),…,xM－1(t),x0(t－Ts),x1(t－Ts),…,xM－1(t－(J－1)Ts)]T,Ts为一个采样间隔时间;t为时间;H为共轭转置运算;T为转置运算.根据傅里叶反变换理论,假设角频率范围为[ωl,ωh]的有限带宽信号为x0(t)= 
,其中 
,ω为频率,X0(ω)为x0(t)的频谱密度函数,则
式中:τm为第m+1个传感器接收信号相对参考传感器的时延,m=0,1,…,M－1；i=0,1,…,J－1.阵列输出为
式中:P(ω,θ)为波束形成器关于角度θ和频率ω独立的响应函数,称为阵列响应,表示x0(t)中角频率为ω的窄带分量的加权系数;wm,i*为第m阵元对应的FIR滤波器的第i个系数.P(ω,θ)可以表示为向量形式:
式中:a(ω,θ)为时域宽带波束形成器的阵列流型向量,其元素为
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| 图 1 时域宽带波束形成的结构图Fig. 1 Structure diagram of time-domain wideband beamforming |
最大能量阵列代价函数定义为通带能量与阻带能量的比率,对于宽带波束形成,即为主瓣能量与旁瓣能量的比率:
式中:ΩPB、ΘML和ΘSL分别为频率通带范围、主瓣角度范围和旁瓣角度范围.对式(6)运算得
式中:
为保证从主极大方向θ0入射的信号,通带内频谱和相位不发生畸变,对该方向阵列响应进行约束:
式中:ω∈ΩPB.
将式(8)写成向量形式：
式中: 
,ω0,ω1,…,ωK为ΩPB内频率的离散采样;g为元素均为1的K维列向量.对目标函数(式(7))增加该线性约束,可得优化问题:
将式(10)优化问题变换进行变换：
式中:
由等式约束条件易知w位于CH的零空间Z,则存在非零向量h使w=Zh成立,式(11)约束优化问题转化为无约束优化问题[9]：
由广义本征滤波问题可知,h的最优解为ZHB1Z相对于ZHB2Z的最大广义特征值对应的广义特征向量.
3 改进的方法对常规的使用最大能量阵列代价函数的本征滤波宽带波束形成算法,本文对其目标函数和线性约束条件进行改进,从而实现波束形成器的频率不变性与零陷设计.
3.1 频率不变性设计SRV的值可以用来衡量波束形成器的频率不变性,其定义为
式中: 
为需要设计频率不变性的角度范围;ar(ω,θ)为参考频率处的阵列流型.QSRV为衡量通带内各频率阵列响应与参考频率阵列响应之间的距离,其值越小,波束形成器在ΩPB和ΘFI内具有越好的频率不变性.将SRV整合入最大能量目标函数,形成优化模型:
式中:α≥0为控制频率不变性强弱的权值.
3.2 零陷设计针对具有频率不变性的优化模型(式(14)),提出两种零陷设计方法:扩展旁瓣能量法和线性约束法.
3.2.1 扩展旁瓣能量法
最大能量阵列代价函数中,旁瓣能量定义为 
,对其适当变形可得
式(15)可以看做通带内旁瓣阵列响应与0的差值加权平方和(权值相等),对零陷角度范围ΘNL
内的阵列响应分配更大的权值可以使旁瓣能量突出零陷处阵列响应对其的贡献.将式(15)改写为
,称为扩展旁瓣能量,其中βθ为权系数,θ∈ΘSL,当θ∈ΘNL时βθ为一个大于1的参数,其他角度范围βθ=1.化为更简洁的形式:
式中: 
为控制零陷深度的参数.使用扩展旁瓣能量代替目标函数中的旁瓣能量,可得优化模型:
原优化模型对主瓣主极大方向的阵列响应进行了线性约束,同样可以对干扰方向阵列响应进行约束,从而实现零陷效果.设干扰方向阵列响应为
式中: 
分别为P(ωk,θu)的幅度和相位;由于主瓣主极大方向阵列响应的幅度约束为1,可得零陷(ωk,θu)处阵列响应幅度增益为－20 lg(1/ξ(ωk,θu))dB.式(18)可改写为
式中:
其中：u=1,2,…,U;θ1,θ2,…,θU为ΘNL内角度的离散采样.将式(19)与式(9)合并,代入优化模型式(14)得
优化模型式(20)可以获得指定大小的零陷.
4 仿真分析考虑12元的均匀线阵,阵元各向同性,阵元间距为通带最大频率对应的半波长.定义采样频率的一半为归一化频率1,频率通带范围为[fl,fh]=[0.4,1],参考频率选为0.6.将通带范围划分为36个等宽子带,FIR滤波器阶数J=15.设定主极大方向为0°(线阵法线方向),主瓣范围为ΘML=[－15°,15°],旁瓣范围为ΘSL=[－90°,－25°]∪[25°,90°],以2°为间隔进行角度离散化.
4.1 频率不变性和零陷验证设置频率不变性范围ΘFI=[－15°,15°],干扰角度范围ΘNL=[－58°,62°],扩展旁瓣能量法(记为“方法1”)优化模型式(17)中,设置参数α=200,λ=105,得到二维波束，图如图 2(a)所示.图 2中横坐标为信号的来向(Direction of Arrival,DOA),波束图绘制的角度间隔为1°.线性约束法(记为“方法2”)优化模型式(20)中,设置α=1,ξ(ωk,θu)=10－4(对应零陷深度-80 dB),φ(ωk,θu)=0,其中k=1,2,…,K,u=1,2,…,U,得到二维波束响应图，如图 2(b)所示.
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| 图 2 方法1和方法2的二维波束响应图Fig. 2 Two-dimensional array response of method 1 and method 2 |
由图 2可以看出,两种方法在ΘFI范围内各频率的阵列响应均具有很好的一致性,验证了本文方法频率不变性设计的有效性;两种方法各频率的阵列响应均在[－58°,62°]范围形成了较深的零陷,并且线性约束法准确地形成了-80 dB的深度,验证了本文两种零陷设计方法的有效性.
4.2 性能分析为证明本文方法的良好性能,下面将对主瓣SRV值、波束宽度、旁瓣增益(定义为旁瓣最大阵列响应幅度)进行综合分析,并与文献[14]提供的基于凸优化的波束形成法进行对比.本文方法参数设置与第4.1节相同,文献[14]的方法使用与本文仿真一样的假设,相关参数设置为,恒定束宽加权因子F(ω,θ)=1,约束值δ=1×10－6,零陷深度ξ=10－4(对应-80 dB),不作白噪声输出功率约束,得到二维波束响应图如图 3所示.对3种方法得到的波束图计算其评价指标：主瓣SRV值、波束宽度和旁瓣增益,结果如表 1所示.
由图 2、图 3可以看出,3种方法均在[－58°,62°]范围内获得了约为-80 dB的零陷,同时主瓣具有良好不变性,即实现了固定束宽.由表 1可知,3种方法均获得非常小的主瓣SRV值,保证了波束图的主瓣ΘML范围内的频率不变性和固定波束宽度,本文两种方法获得了更低的主瓣SRV值;3种方法均获得的固定束宽,均为[-10°,9°];本文两种方法获得的旁瓣增益在-25 dB以下,略低于文献[14]的方法,能更好地抑制旁瓣入射的干扰或噪声.另外,本文方法不需要迭代优化,具有更高的运算效率.
5 结 论本文基于最大能量阵列代价函数和主极大方向线性约束的优化模型,提出了改进的基于本征滤波的时域宽带波束形成方法,以获得阵列响应的频率不变性和零陷效果,经实验验证表明:
1) 两种方法均能实现阵列响应在指定角度范围内的频率不变性或零陷.
2) 在获得足够零陷深度和相同波束宽度条件下,两种方法均获得比文献[14]中方法更小的主瓣SRV值和旁瓣增益.
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