梁的横向振动是常见的工程问题和普遍的力学模型.已有学者对此类问题进行了深入研究,并将研究结果在航空、航天和兵器等工业领域进行应用.例如在航空领域,McPherso和史友进[1, 2]等将飞机机翼看成自由-自由梁模型,分析了机体弹性对起落架性能的影响;在航天领域,王栋和刘天雄[3, 4]等分析了集中质量和转动惯性对梁固有振动的影响;在兵器领域,陆毓琪和芮筱亭[5, 6]等将火炮的身管看成含有集中质量和弹性支撑的弹性梁,分析了振动问题;然而,先前研究者[7, 8, 9, 10]都仅考虑了单跨梁在复杂边界条件下的振动问题,没有推广到多跨梁.
在复杂边界条件下的多跨梁研究方面,Гантмахер和Крейн[11]、王其申等[12, 13, 14]研究了带有集中质量的多跨Bernoulli-Euler梁的定性性质,但是没有给出频率方程,工程技术人员难以直接应用.Ariaei等[15, 16]、Mamandi和Kargarnovin[17]研究了移动的质量块对多跨的Timoshenko梁动力响应的影响.
本文建立了复杂边界条件(集中质量、转动惯量、拉压弹簧和扭转弹簧)下的多跨梁的振动模型,应用传递矩阵法对模型进行分析,导出了模型的固有振动的频率方程和振形函数.通过简化模型的频率方程与已有文献[3]进行对比,发现两者一致,文献[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]结果都是本文的特例.该结果可以广泛地应用到各个工程领域,方便工程技术人员使用.
1 Timoshenko梁的振动微分方程
Bernoulli-Euler梁适合于描述细长梁以低阶固有振动为主的振动.随着固有振动阶数的提高及边界条件的增加,梁被节点分成了若干短粗的小段.此时,梁的剪切变形及绕中性轴的转动惯量的影响变得突出.计入这2种因素的梁模型叫做Timoshenko梁模型.它对变形的基本假设是:梁截面在弯曲变形后仍保持平面,但未必垂直于中性轴.
Timoshenko梁微段的变形与受力分析如图 1所示.图中,M为弯矩；Q为剪力.取坐标x处的梁微段dx为分离体.由于剪切变形,梁横截面的法线不再与梁轴线重合.法线转角θ由轴线转角∂w/∂x和剪切角γ两部分组成,即
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| 图 1 Timoshenko梁微段的变形与受力分析Fig. 1 Deformation and force analysis of micro-segment of Timoshenko beam |
根据牛顿第二定律和动量矩定理,自由振动的Timoshenko梁的挠度和转角满足式(3):
消去转角θ,得到Timoshenko梁的自由振动微分方程为
设梁具有如下形式的横向固有振动
w(x,t)=W(x)·q(t)
式中：W(x)为梁的振形函数;q(t)为描述运动规律的时间函数.Timoshenko梁的振形函数为
式(5)通解为
2 传递矩阵和递推公式
传递矩阵法[18, 19, 20]是对多自由度系统进行振动分析的一种有效计算方法.用传递矩阵分析系统的振动时,只要对一些阶次很低的传递矩阵进行连续的矩阵乘法运算,计算中只需求解低阶次的传递矩阵和行列式,因此传递矩阵法节省了计算工作量.
将整个梁自中间的各个边界条件处断开,形成s段梁,每段梁的振形函数都可用式(5)表示.
2.1 场传递矩阵的推导
根据梁的性质,梁截面的状态向量是个4×1的矩阵,可以用Z(x)=[Y θ M Q]T进行表示.其中Y为挠度.且满足式(11):
设梁的长度为1,对整个梁做分析,在梁的输入段x=0处,根据梁的性质,有
由式(12)和式(13)可得:
则由场传递矩阵的定义可知,场传递矩阵Hf为
2.2 点传递矩阵的推导
设中间的铰支座有k个,每个铰支座的坐标为αi(i=1,2,…,k);集中质量有n个,每个坐标为bi(i=1,2,…,n),质量为mi(i=1,2,…,n),转动惯量为Ji(i=1,2,…,n);拉压弹簧有f个,每个坐标为ci(i=1,2,…,f),刚度为ki(i=1,2,…,f);扭转弹簧有h个,每个坐标为di(i=1,2,…,h),扭转刚度为kθi(i=1,2,…,h).
以考虑转动惯量的集中质量的点传递矩阵为例,其他的边界条件类似可得.在集中质量所在的点bi,满足式(33)和式(34): 式中:
同理,拉压弹簧的点传递矩阵为
扭转弹簧的点传递矩阵为
中间的铰支座的点传递矩阵为
2.3 递推公式和频率方程
梁的中端从一个边界条件到另一个边界条件经过一段梁和一个力学元件.则体现第i个单元两端状态传递关系的递推公式可表示为
整个系统的传递矩阵H表示为
由推导可知,整个系统的传递矩阵H是个4×4的矩阵.可以写成下面的形式:
固支-自由：
固支-简支：
固支-固支：
简支-自由：
简支-简支：
简支-固支：
自由-自由：
自由-简支：
自由-固支：
梁两端在不同的边界条件下的振形函数为
2.4 模型验证
按照式(1)~式(53)方法,对两端简支的Timoshenko梁的频率方程进行推导,应用式(16)~式(32)和式(48),得到两端简支的Timoshenko梁的频率方程如下:
这与文献[21]给出的结论相同.
3 Bernoulli-Euler梁的自由振动 3.1 Bernoulli-Euler梁的振动微分方程
将Timoshenko梁的自由振动方程式(4)中的考虑剪切变形和中性轴的转动惯量的项去掉,即可得出Bernoulli-Euler梁的自由振动方程如下:
Bernoulli-Euler梁的振形函数为
振形函数的通解为
W(x)=a1ch(λx)+a2sh(λx)+a3cos(λx)+a4sin(λx)
式中：λ4=[ρA/(EI)]ω2.3.2 场传递矩阵
将式(16)中考虑剪切变形和中性轴的转动惯量的项去掉,即可得出Bernoulli-Euler梁的场传递矩阵：
点传递矩阵、递推公式、频率方程和振形函数类似式(33)~式(52)可得出.
4 特 例
通过简化式(1)~式(53)模型,使简化模型体现一定的工程实践意义,方便工程技术人员应用;并与已有文献[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]的研究结果进行比较,说明它们可以视为本文提出模型的特例.
由于在航空航天、兵器和汽车工业中Bernoulli-Euler梁的相关模型应用较多,根据Bernoulli-Euler梁的简化模型情形,相应的Timoshenko梁模型可按照相同思路得出.
4.1 双跨梁情形
令k=1、n=f=h=0,可将模型转换成双跨梁的情形,即梁中间只有一个铰支座,位置是αi,将梁分成了两段.
引言中提到,先前的用于起落架性能分析的弹性机体看成了自由-自由的Bernoulli-Euler梁,但是应用的对象是上单翼飞机,中单翼飞机如何处理鲜见文献报道;中单翼飞机由于机翼不是一体的,机翼与机身通过加强隔框进行连接,可将连接方式视为铰接.由对称性可取一半的机体,看成悬臂梁加中间铰支座的双跨梁加以分析.
按照式(39)、式(44)和式(55)递推,可得其频率方程为
将αi→1,式(56)变成
将αi→0,式(56)变成
当αi→0时,式(58)是个0/0型的不等式,由三角函数的性质可知,式(58)右边的分子是比分母更高阶的无穷小量,则
其他的双跨梁模型,比如简支梁加中间铰支座通过类似的分析也可得出.
4.2 悬臂梁带有集中质量的情形
令n=1、k=f=h=0,可将模型转换成带有集中质量的情形,即梁中间只有一个集中质量,位置为bi,质量为mi,转动惯量为Ji.
先前的用于起落架性能分析的弹性机体看成了自由-自由的Bernoulli-Euler梁,但是没有考虑翼吊式发动机的影响.可以将翼吊式发动机看成是悬臂梁上的集中质量来完善模型.
按照式(36)、式(44)和式(55)递推,可得其频率方程为
令q=0,可得
这与文献[3]给出的结论相同.
悬臂梁带有任意集中质量的模型可以类似得出,可以看成对带弹机翼的弹性分析的模型.
4.3 带有任意拉压弹簧和集中质量的情形
令k=h=0,可将模型转换成带有任意个拉压弹簧和集中质量的情形,即梁中间有n个集中质量,位置为bi(i=1，2，…，n),质量为mi(i=1,2,…,n),转动惯量为Ji(i=1,2,…,n);并且梁中间有f个拉压弹簧,每个坐标为ci(i=1,2,…,f),刚度为ki(i=1,2,…,f).
特别地,当集中质量和拉压弹簧具有相同的数量,且成对出现在在同一个位置时,即bi=ci(i=1,2,…,n),n=f时,可以用此模型模拟兵器工业上火炮的身管.
按照式(36)、式(37)和式(55)递推，频率方程的推导类似可得,如将转动惯性项Ji=0,即可得出文献[5]的结论.
5 结 论
将工程上常用的单跨梁的传递矩阵推广到了多跨梁;将Bernoulli-Euler梁推广到了Timoshenko梁;将个别的复杂边界条件推广到了一般复杂边界条件,从而使得本文建立的模型具有更普遍的意义和更广泛的实用性.①通过简化模型,推导了双跨梁模型,以梁两端固支-自由为例,给出了其频率方程.当铰支座移至自由端时,频率方程变成了固支-铰支的频率方程;当铰支座移至固定端时,频率方程变成了固支-自由的频率方程.②推导了悬臂梁带有集中质量的模型,给出了频率方程的一般格式,当不考虑转动惯量的影响时,得出的频率方程与已有文献[3]的结论相同.③推导了带有任意拉压弹簧和集中质量的模型,其相应的算例与已有文献[5]的结论相同.④文献[1~10]给出的研究结果可视为本文的一种特例.⑤本文特例中的模型是通过Bernoulli-Euler梁进行推导得出的,实际上通过Timoshenko梁进行推导也可得出相同结果.
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