表1(Table 1)
结构可靠性[1, 2, 3]是工程领域内研究的重点内容之一。结构中的几何参数、材料属性、强度和载荷等都可视为结构的基本随机变量。失效概率Pf是结构可靠性分析的重要指标之一。现今已有很多方法用于求解失效概率,例如传统的一次二阶矩方法(First-Order Reliability Method,FORM)[4]和二次二阶矩方法(Second-Order Reliability Method,SORM)[5]、蒙特卡罗模拟(Monte Carlo Simulation,MCS)方法[6]以及响应面方法(Response Surface Method,RSM)[7]等。在利用上述方法计算时,MCS法简单易行、精度高,对求解没限制,但计算量相当大,耗时过长;FORM和SORM存在迭代收敛慢甚至不收敛,对功能函数为隐式的问题计算困难,难于求解变量的导数;RSM法对于非线性程度较高的工程实际问题则需要进行多次迭代,而且固定的函数形式也会影响其逼近精度。
Rahman[8]和Cho[9]等提出的降维算法(Dimension Reduction Method,DRM)避免了对功能函数梯度与矩阵的逆以及迭代最可能失效点(Most Probable failure Point,MPP)的求解,大大降低了计算工作量;Youn等[10]指出在基于矩的积分法时,随积分点的增多,导致线性方程组的系数矩阵出现奇异性、条件数和数值结果不稳定等。
因此,本文结合单变量降维算法和Edgeworth级数展开法[11]进行结构的可靠性分析。采用降维算法,将功能函数分解为n个一维函数叠加的形式,再利用变量转换和Gauss-Hermite数值积分得到各一维函数的原点矩,由所得各原点矩信息获得功能函数的中心矩,再将其前四阶中心矩应用到Edgeworth级数展开式中,该级数无需通过参数的分布类型进行拟合,仅需通过矩信息就可拟合累积分布函数计算。
1 降维算法假设由n维向量X=[x1 x2 … xn]T来表达任意一个连续、可微的实值响应函数g(X),n维函数g(X)的降维表达式[12]为
选取随机变量空间中的任意一个参考点c=(c1,c2,…,cn),若只考虑式(1)中的一阶项。由式(1)可得到下列分量函数的关系式：
由二项式展开定理和统计矩定义知,n维函数g(X)的k阶原点矩公式[13]为
为式(5)的二项式展开系数; 
为期望算子,q为原点矩的阶数。
当随机变量xi的概率密度函数为f(xi)时,一维函数gi(X)的原点矩可以表示为
由于直接用积分计算式(6)会导致较大误差且为提高其计算精度,一维函数的积分表达式,通常可以运用传统的数值积分公式进行计算求解,但积分结果有误差。本文中将各变量均转换为服从N(0,0.5)(均值为0,方差为0.5)的正态分布的变量。基于等概率变换原理,将一组任意分布类型且相互独立的向量X=[x1 x2…xn]T转换成一组服从正态分布的向量U=[u1 u2…un]T。经转换后可得
将式(7)和式(8)代入到式(6)中,利用Gauss-Hermite数值积分,则一维函数gi(xi)=g(μ1,μ2,…,μi-1,xi,μi+1,μi+2,…,μn)的原点矩表达式可表示为
式(5)得到功能函数的统计矩后,可根据矩信息拟合功能函数的累积分布函数。相应的方法有:Pearson系统[14],鞍点近似法[15],增广β和λ分布等。由于Pearson系统在拟合过程中因分布类型的区别在区域边界取值不同,导致数值解不稳定;鞍点近似法计算在数值过程中存在奇异性;增广β和λ分布仅适用于中低度可靠性水平的单峰概率密度函数的近似,且不能准确估计失效概率小于0.01的情况在鞍点近似的数值过程中存在奇异性等[12]。因而本文采用Edgeworth级数,其仅通过功能函数的矩信息,便可拟合其分布函数。
由Edgeworth级数展开法知,功能函数的累积分布函数F(g)可表示为
将式(12)代入式(11)便可通过计算得到结构的失效概率。其算法流程如图 1所示。
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| 图 1 结构失效概率计算流程图 Fig. 1 Calculation flowchart of structural failure probability |
已知非线性极限状态方程g=567fr-0.5H2,f和r服从正态分布,f～N(0.6,0.078 62),r～N(2.18,0.285 582),随机变量H服从对数正态分布,其均值为32.8,变异系数为0.03,计算极限状态方程的失效概率。
表 1为算例1的失效概率计算结果。由表 1可知,应用本文方法计算的结果与MCS方法吻合较好,具有较高的计算精度。功能函数无需对随机变量进行梯度求解,本文方法的相对误差为7.3%,体现了本文方法的正确性和高效性。
| 方法 | 失效概率 | 相对误差/% | 样本数 |
| MCS | 0.028 0 | 107 | |
| FORM | 0.023 0 | 20.1 | 39 |
| SORM | 0.025 2 | 12.5 | 15 |
| 本文方法 | 0.026 7 | 7.3 | 9 |
平面十杆桁架结构如图 2所示。泊松比μ=0.3;弹性模量E=2.1×1011Pa;材料密度ρ=7.8×103 kg/m3;许用应力[σ]=160 MPa;P1=750 kN,P2=950 kN,P3=950 kN,杆①~杆⑥各杆件长度均为3.6 m,面积均为A1=0.03 m2;杆⑦~杆⑩面积均为A2=0.02 m2。节点5和节点6处施加平面约束,在节点4处施加竖直向下载荷P1,节点2处同时施加竖直方向载荷P2和水平方向载荷P3,参数统计特征列于表 2。节点2处的垂直位移Δ≤0.008 m,可得到功能函数为
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| 图 2 平面十杆桁架结构 Fig. 2 Structure of ten plane truss |
| 随机变量 | 参数统计特征 | ||||
| 分布类型 | 均值/kN | 变异系数 | 偏态系数 | 峰度系数 | |
| P1 | 对数正态 | 750 | 0.10 | 0.301 4 | 3.163 1 |
| P2 | 对数正态 | 950 | 0.12 | 0.362 5 | 3.235 1 |
| P3 | 正态 | 950 | 0.11 | 0 | 3 |
依据图 1所示的算法流程,首先明确随机变量的分布类型,对其进行变量转换,选取高斯点的个数,该算例中3个随机变量,每个变量选用3个高斯点,再调用桁架结构的有限元程序,即获得节点2处垂直方向的最大位移的9个样本,利用样本计算出3个一维函数的原点矩,进而得到功能函数的前4阶原点矩,通过式(12)可得功能函数的前4阶中心矩,将中心矩作为系数代入式(11),可得节点2处垂直方向最大位移累积分布函数和最终的失效概率。该算例方法实现简单,仅通过9个样本来拟合隐式功能函数的累积分布函数(CDF),图 3为本文方法与MCS法对比的累积分布函数图,体现该方法与MCS法吻合较好。
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| 图 3 功能函数的累积分布 Fig. 3 Cumulative distribution of performance function |
计算结果列于表 3,与FORM和SORM相比,本文样本数为9,耗时仅用2.891 358 s;本文方法的相对误差仅为0.77%,明显低于FORM的8.77%与SORM的12.99%。验证了模型的正确性和高效性。
| 方法 | 失效概率Pf/10-4 | 相对误差/% | 样本 | 耗时/s |
| MCS | 6.000 0 | 104 | 310 440 000 | |
| FORM | 6.526 2 | 8.77 | 15 | 6.338 395 |
| SORM | 6.779 9 | 12.99 | 15 | 4.697 708 |
| 本文方法 | 6.046 3 | 0.77 | 9 | 2.891 358 |
本文提出了一种结合降维算法和Edgeworth级数的结构可靠性分析方法。
1) 运用降维算法使得高维积分运算的工作量大大减少,利用Edgeworth级数方法拟合功能函数的累积分布函数。
2) 解决了功能函数为隐式或高维非线性的复杂结构失效概率的计算问题。
3) 高效且稳定地降低了计算成本,算法流程简单,易于编程。具有收敛速度快、计算次数少和可以处理复杂结构可靠性分析问题等优点。
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