自动驾驶仪是导弹控制系统的核心,其功能在于控制导弹的飞行姿态,使其能够稳定地飞行在预定的轨迹中^[1]。自动驾驶仪的状态直接影响导弹的战斗任务执行。因此,在自动驾驶仪出现故障时,必须能够快速准确地定位自动驾驶仪的故障源,尽可能缩短故障排除周期。支持向量机 (Support Vector Machine,SVM)在小样本分类问题上的优势能较好地解决自动驾驶仪实际测试过程中故障样本较少的问题。同时,SVM的参数选择对其分类模型的优劣有相当大的影响。目前,遗传算法(Genetic Algorithm,GA)^[2]、蚁群算法^[3]、蛙跳算法^[4]、布谷鸟算法^[5]和万有引力搜索算法 (Gravitational Search Algorithm,GSA)^[6]等智能算法在SVM参数寻优中逐渐得到应用。综合算法收敛速度与收敛精度2个方面的性能指标,相对于其他智能算法,GSA具有相对的优势^[7]。为进一步提高GSA的收敛速度以及收敛精度,本文提出了量子万有引力搜索算法 (Quantum inspired Gravitational Search Algorithm,QGSA)优化SVM参数的方法,并将优化后的SVM故障诊断模型应用到自动驾驶仪的故障诊断中。

1 量子万有引力搜索算法

QGSA是由Soleimanpour-Moghadam等^[8]在GSA的基础上提出的一种新型的智能算法。GSA是基于牛顿万有引力的一种元启发式算法^[9-10],其凭借个体之间的万有引力作用实现优化信息的共享,引导粒子群在最优解的范围内进行搜索。在GSA中,粒子的状态是由其位置和速度决定的。但是在量子力学的理论中,粒子的状态由波函数 ψ 决定。

在量子力学中,薛定谔方程是求解粒子状态问题的基本方程。沿r轴运动的粒子的薛定谔方程表达式为

式中:H为哈密顿算子,表示波函数的总能量；h为普朗克常量。

哈密顿函数表示为

式中:m为粒子的质量；V(r)为势阱分布函数。

在薛定谔方程中,波函数 ψ 没有直接的物理定义。然而,|ψ|²为粒子运动的概率密度,能够计算出粒子在特定时间出现在某一位置上的概率。在三维空间中,粒子的波函数为ψ(r,t),可表示为

式中: Qdx₁dx₂dx₃ 表示t时刻,在点(x₁,x₂,x₃)周围大量的元素中寻找出粒子位置的测量概率。

因此,概率密度函数|ψ|²应满足：

假设存在一个一维空间的粒子,则这个粒子在一维δ势阱中的势能可以表示为

式中: γ 为与势阱深度相关的正比例变量,势阱深度是原点处无穷大、其余位置处为0的函数； δ(r) 为狄拉克函数。

综上所述,薛定谔方程可以表示为

式中:E为粒子本身的能量。

为防止粒子越界,给出如下限定条件:

为了满足上述条件,式(7)可表示为

精确的粒子位置信息是确定适应度值的必要条件。但是,量子波动函数只能给出粒子位于空间不同位置的概率密度函数。因此,获得粒子位置成为解决问题的先决条件。根据蒙特卡罗方法使用随机数来解决计算问题的理念,可将式(9)作如下简化:

式中:s为[0,1]范围内服从正态分布的随机数。

式中:x为粒子的位置;b_est为由拥有最好适应度值的K个粒子决定的粒子信息,K为时间函数,随着时间t的增加,K从 K₀ 逐渐减小到1,即最后只有最优的一个粒子起作用。

如此便可以得到粒子位置的表达式为

综上所述,QGSA的迭代过程总结如下:

1) 初始化粒子的位置。在D维搜索空间内随机生成N个粒子,其中粒子的位置可表示为

2) 分别计算N个粒子的适应度值。

3) 选择群体中的U和V。设在t时刻,只允许拥有最好适应度值的K个粒子对其他粒子起作用。U为K个粒子中拥有最优适应度值的粒子的位置,V为单个粒子在迭代过程中适应度值最优时的粒子位置。每次迭代后,若当前粒子适应度值最优,则使用当前粒子位置替换V^[11]。

4) 更新G_i。更新公式如下:

式中:d_i,l为粒子i与粒子l之间的欧氏距离;G为粒子的惯性质量。

5) 更新每个粒子的位置P_i。通过式(15)更新粒子的位置:

式中: c₁ 和 c₂ 为在[0,1]范围内的随机数。

运用蒙特卡罗方法,得粒子移动迭代公式为

式中:ζ为收缩膨胀的系数,用随机数表示；z为[0,1]范围内的随机数。

6) 迭代操作。判断是否达到最优位置或达到最大迭代次数。是,则退出；否,则回到步骤2)继续执行。

2 支持向量机

SVM是由Vapnik和Cortes^[12]提出的一种基于结构风险最小化的机器学习技术,其能够逼近任意复杂的非线性系统,依据较少样本信息在模型复杂性和学习能力之间寻求最优,以获得最好的泛化能力。

对于2类线性可分样本集,SVM实质上是在寻找一个分类超平面,使得2类样本能够分布在超平面的两边,且距离超平面最远^[13]。

设有2类数据样本为

式中:n为样本空间的维数；l为训练样本的总数； x_i 为第i个样本空间输入值； y_i 为第i个输出值。

对于线性可分的情况,最优超平面的求解可以归结为如下约束优化问题:

式中: φ(ω) 为最优超平面；ω为最优超平面的法向量；b为偏移值。

ω·x+b=0 就是所要寻找的最优超平面。

当样本线性不可分时,SVM采用非线性映射 Φ 将数据样本从现属空间映射到高维空间 Ω ,再在 Ω 中求最优分类面。SVM运用核函数巧妙地解决了高维空间维数过高的问题,该核函数 K(x_i,x_j) 满足Mercer条件,其对应于变换空间的内积,即 K(x_i,x_j)=Φ(x_i)·Φ(x_j) ,内积运算在未知 Φ(x) 具体形式的情况下即可实现^[14]。综上所述,通过选择适当的核函数 K(x_i,x_j) ,便可以实现非线性样本的线性分类。同时引入松弛变量 ξ_i 后,原分类面方程可表示为

综上所述,构造最优分类面的问题转化为

式中:常数C为惩罚因子,控制模型的复杂度以及逼近误差。

通过引入Lagrange乘法算子α,把构建最优超平面的问题转化为对偶二次规划问题(见式(20))^[15],同时将核函数的内积转换代入,式(19)转换为

最终的最优分类面函数表示为

同时,不同的核函数对应着不同的SVM分类器。目前,SVM中应用效果较好的核函数主要有线性核函数、径向基核函数、多项式核函数和sigmoid函数等^[16],本文主要选择径向基核函数作为SVM的核函数。径向基核函数定义如下:

式中:g为径向基核函数的核宽度。

SVM的参数选取对于其学习能力以及推广能力均有较大的影响,对于径向基核函数的SVM而言,需要确定的参数主要包括惩罚因子C和核宽度g。本文采用QGSA对C和g寻优,从而得出分类模型最优的C和g。

3 基于量子万有引力搜索算法的支持向量机

基于QGSA的SVM以SVM分类模型框架为基础,采用基于QGSA智能算法的粒子更新策略。其中,以粒子位置信息表示SVM的一种参数组合,通过QGSA位置更新策略,获得最优粒子位置,代入SVM建立最优SVM分类模型。

基于QGSA的SVM故障诊断模型建立的具体步骤如下:

1) 将仿真获得的样本数据随机分为训练集样本和测试集样本。

2) 随机产生n个粒子,每一个粒子位置代表一组参数(C,g)。

3) 根据SVM参数C和g的特征确定其取值范围以及更新步长,以此来决定QGSA中的粒子位置的迭代范围以及更新步长。

4) 每次迭代过程中,将每个粒子位置代入SVM故障诊断模型中,得出当前粒子的适应度值。

5) 以适应度值为依据,V代表每个粒子目前为止的最优位置,U代表全局粒子的最优位置。每次迭代后,若当前粒子位置优于V,则使用当前位置替换V；否则,不替换,并将目前位置最优的粒子位置存入U。

6) 根据QGSA的位置更新策略更新粒子位置,并判断是否满足要求。如果满足要求,则停止搜索；否则,返回步骤3)继续寻优。

7) 以获得的最优参数为基础建立故障诊断模型,进行故障诊断。

QGSA优化SVM参数流程如图 1所示。

4 结果分析

根据自动驾驶仪的工作原理以及电路结构,本文通过电路仿真的手段仿真自动驾驶仪电路模型,并模拟自动驾驶仪的典型故障进行故障样本集的采集。9类故障的正常值与故障值对比见表 1。仿真电路故障包括无故障类(NF)、R3↑、R3↓、R8↑、R8↓、R16↑、R16↓、C1↑和C1↓。其中,↑或↓表示故障值相对于正常值向上或向下偏离。按照表 1中9种故障共整理出540组数据,将样本数据分为训练集和测试集,作为验证模型的依据。

将训练集样本数设置为50时,基于遗传算法的SVM、基于GSA的SVM以及基于QGSA的SVM的故障诊断结果如图 2所示。

由3种故障诊断的分类准确率可以看出,基于QGSA的SVM故障诊断的分类准确率明显高于其余2种。为进一步验证基于QGSA的SVM故障诊断在不同样本数下的表现,设置不同样本数,依次验证3种故障诊断模型的诊断效果,诊断结果见表 2。可知,基于QGSA的SVM故障诊断模型在样本数为70的情况下,分类准确率已达99.1489%,能够在小样本故障诊断中保持较高的分类准确率。

5 结 论

本文针对自动驾驶仪故障样本较少的问题,提出基于QGSA优化的SVM自动驾驶仪故障诊断模型。

1) 算法可在故障样本较少的情况下,得到较高的故障诊断分类准确率。例如在故障样本数为20时,故障的分类准确率便能够达到88.4615%。

2) 算法在相同的样本数下,相比于基于GSA的SVM和基于遗传算法的SVM，具有更高的故障诊断分类准确率。

为使本文提出的方法能够处理各种类型的故障诊断模型,仍需要优化方法的各项参数,进一步提高方法的收敛速度以及诊断准确率。