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泡沫子弹撞击刚性靶板的理论模型
刘虎 , 刘华 , 杨嘉陵     
北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100083
摘要: Taylor撞击常用于测试材料的动态屈服强度。泡沫压缩密度与压缩应变的关系对泡沫子弹Taylor撞击的理论分析起着重要的作用。本文通过引入塑性泊松比,得到了泡沫压缩密度与压缩应变的准确关系,进一步建立了可压缩泡沫子弹撞击刚性靶板的理论模型。当塑性泊松比为常数时,文中建立的泡沫受压后密度比的一阶泰勒展开式可以退化到已有模型。当塑性泊松比为塑性应变和子弹相对密度的函数时,相对密度会影响泡沫子弹的冲击响应历程及最终变形,但对撞击持续时间影响较小。同时,初始速度也会影响子弹最终变形和撞击持续时间。本文的理论工作可以为分析泡沫材料的动态力学行为提供有益指导。
关键词: Taylor撞击     泡沫材料     塑性     塑性泊松比     刚性    
Theoretical model for a porous projectile striking on flat rigid anvil
LIU Hu , LIU Hua , YANG Jialing     
School of Aeronautic Science and Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China
Received: 2015-07-14; Accepted: 2015-08-06; Published online: 2015-09-17 10:43
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (11472035, 11472034)
Corresponding author. Tel.: 010-82317507 E-mail: liuhuarui@buaa.edu.cn
Abstract: Taylor impact is often applied to the determination of the dynamic yield stress of materials. For theoretical analysis of the Taylor impact of porous projectiles, the relationship between the density of a compressed porous projectile and the compressive plastic strain is very important. This paper proposes an exact density model for the compressible porous projectile by inducing the plastic Poisson's ratio, and further, an analytical model is established for the compressible porous projectile striking on a flat rigid anvil. As the plastic Poisson's ratio is a constant, the first order Taylor series expansion of the compression density ratio model can be reduced to the existing model. As the plastic Poisson's ratio is a function of the compressive plastic strain and the relative density, the relative density has a major influence on the impact response and the final deformation of the projectile, but the duration of impact-contact process is almost unaffected. The initial velocity of the projectile has considerable effects on both the final deformation of the projectile and the duration of impact-contact process. The present theoretical model is useful in analyzing the dynamic behavior of porous materials.
Key words: Taylor impact     porous material     plastic     plastic Poisson's ratio     rigid    

泡沫材料由于具有轻质、高比强度、高比刚度和良好的吸能特性而被广泛用于航空、航天、汽车、人员和结构防护领域[1],特别是用于爆炸防护、汽车耐撞性设计和飞机跑道阻拦等高速防护领域,所以在高应变率条件下泡沫材料的力学性能备受关注。其中,高应变率条件下材料参数测试的常用方法包括Taylor测试和Hopkinson杆测试,而Taylor测试由于操作简单广受欢迎[2]

1948年,Taylor[3]率先提出了Taylor测试的基本原理,他利用圆柱形子弹撞击刚性靶板,通过子弹的最终变形获得了材料高应变率状态下的力学特性。同年,Whiffin[4]利用该方法对多种金属材料进行了试验分析,通过子弹的最终变形得到了材料动态屈服强度,此后多名学者对Taylor模型进行了改进。例如,Hawkyard[5]利用能量守恒的办法代替动量定理对塑性波前进行了分析,得到的子弹变形模式比Taylor模型更加接近于试验结果。Jones等[6-7]同时也分析了应变率和应变强化效应对Taylor撞击结果的影响。另外还有不少学者对Taylor测试进行了有限元仿真分析[8-10]

除了金属材料,Taylor撞击还广泛用于测试聚合物[11-12]和泡沫材料[13-14]的动态力学性能,Lu等[13-14]是较早对多孔材料的Taylor撞击进行理论和试验研究的,他们通过多孔材料的压缩试验,指出压缩过程中密度与压缩应变呈线性关系,但这种线性关系只适用于压缩应变较小的情形。在本文中,通过引入多孔材料的塑性泊松比,对多孔泡沫材料压缩过程中的密度变化进行了详细推导,当塑性泊松比为常数时,密度表达式的一阶泰勒展开式可以退化到Lu等[13]的分析结果,当塑性泊松比为塑性应变和相对密度的函数时,本文进一步分析了泡沫材料相对密度对Taylor撞击响应的影响。

1 问题描述及基本方程

假设一个圆柱体泡沫子弹以初速度U撞击刚性靶板,撞击过程可分为3个阶段,图 1给出了撞击前、撞击中间阶段及子弹的最终变形。如图 1(a)所示,假设子弹的初始长度为L0,截面面积为A0,子弹为理想刚塑性材料,屈服应力σY,同时假设泡沫子弹的直径远大于孔隙直径,子弹可看作连续介质。当子弹撞击刚性靶板时,在撞击面上形成的塑性波立刻以速度v向子弹的自由端传播,如图 1(b)所示,塑性波前到达的区域立刻进入屈服,截面面积由A0变为A,子弹的密度由ρ0变为ρu为未变形区域的速度,zh分别为未变形和变形区域的长度。如图 1(c)所示,撞击结束时子弹未变形和变形区域的长度分别为ZHLf为子弹的总长度。

图 1 圆柱体泡沫子弹撞击刚性靶板前、撞击中间阶段及子弹的最终变形 Fig. 1 A cylindrical porous projectile striking on a rigid anvil before impact, in intermediate stage of deformation, and in final stage of deformation

与Taylor模型一致,可得

(1)
(2)
(3)

式中:t为时间。

由质量守恒可得连续方程:

(4)

在塑性波前截面上,由冲量定理可得

(5)

假设沿撞击方向有限长度dl0发生塑性变形后长度变为dl,截面面积由A0变为A,则变形前后的体积分别为

(6)
(7)

子弹压缩前后密度比可以写为

(8)

式中:V0为变形前的体积;V为变形后的体积;μp为塑性泊松比;e为塑性应变,其定义为

(9)

引入无量纲量:

(10)

式中:λλ0分别为子弹未变形区域的无量纲瞬时速度及初始速度;η为塑性波前的无量纲速度,其初始值为η0τ为无量纲时间。

1.1 子弹未变形区域的速度

联立式(4)和式(5)并将式(9)代入可得

(11)

将式(8)和式(10)代入式(11)可得

(12)
1.2 子弹未变形区域的长度

式(2)与式(3)相除得

(13)

对式(11)两边求导,并将式(13)代入得

(14)

在子弹撞击刚性平面瞬时,子弹具有最大应变e0,将式(8)代入式(14),两端积分可得未变形区域长度z与应变e的关系:

(15)

当撞击结束时,应变e=0,可以得到未变形区域的最终长度Z

(16)
1.3 子弹塑性变形区域的长度

式(1)与式(2)相除可得

(17)

式(17)两边同除以L0可得

(18)

令式(15)中,代入到式(18),两端积分可得

(19)

撞击结束时,应变e=0,此时可得塑性变形区的最终长度H

(20)

撞击结束时,Lf等于未变形区域和塑性变形区域的长度之和:

(21)
1.4 撞击持续时间

由式(3)和式(10)可得

(22)

将式(12)和式(15)代入式(22),并结合初始条件τ=0时e=e0,两边积分得

(23)

在撞击结束时e=0,代入到式(23)可以得到撞击持续时间τf

(24)
2 压缩密度比的退化 2.1 压缩密度比的一阶泰勒展开

由式(8),可得到压缩密度比的一阶泰勒展开式:

(25)

Lu等[14]通过多孔材料试验,认为子弹的压缩密度比与应变e满足,其中α为常数。显然这里的α与式(25)中的1-2μp相对应,这也说明在Lu等[13]的分析模型中,子弹的塑性泊松比μp为常数。

将式(25)代替式(8),类似推导可得到子弹未变形区域的无量纲瞬时速度λ、子弹未变形区域和变形区域的最终长度ZH,以及无量纲撞击持续时间τf如下:

(26)
(27)
(28)
(29)

式中:

(30)

μp为常数时,,令1-2μp=α,式(26)~式(30)可以退化到Lu等[13]的分析模型。

2.2 压缩密度比的二阶泰勒展开

由式(8),也可得到压缩密度比的二阶泰勒展开式:

(31)

与2.1节类似,用式(31)代替式(8),得到的冲击响应结果为

(32)
(33)
(34)
(35)

其中:

(36)
3 结果与讨论 3.1 塑性泊松比为常数

图 2给出了压缩密度比的一阶泰勒展开式与Lu等[13]模型的计算结果对比,这里取初始应变e0=0.3,同时取μp=0.25,对应于Lu等[13]模型中α=0.5。可以看出两者计算得到的冲击响应结果一致,这也说明一阶泰勒展开模型可以退化到Lu等[13]模型。

图 2 μp=0.25, e0=0.3时的冲击响应 Fig. 2 Impact responses when μp=0.25 and e0=0.3
3.2 塑性泊松比为压缩应变的函数

多孔材料的塑性泊松比并不为常数,与冲击速度和压缩应变有关,对于某闭孔金属泡沫材料,文献[15]通过数值模拟给出了如下低速冲击情况下的塑性泊松比与压缩应变的关系:

(37)

式中:e1为工程应变,满足e=ln(1+e1);α0α1α2为材料常数并满足:

(38)

式中:ζ为泡沫子弹的相对密度,即金属泡沫的表观密度与相应金属材料的密度之比。

虽然式(37)是低速冲击条件下得到的数值模拟结果,但由文献[15]可知,冲击速度仅对塑性泊松比的峰值有较大影响,而该峰值对应的压缩应变很小,在Taylor撞击实验中,泡沫子弹的初始应变通常较大,此时冲击速度对塑性泊松比的影响较小,而在撞击后期,泡沫子弹的速度已较低,因此式(37)可以近似分析Taylor撞击问题。

由式(37),可以得到

(39)

将式(37)分别代入到压缩密度比的原始表达式(8)及其一阶、二阶泰勒展开式(25)和式(31),可以分别得到对应的压缩密度比与压缩应变e的关系式。取泡沫材料的相对密度ζ=0.4,图 3给出了它们之间的关系,可以看出在压缩应变e较小时,压缩密度比与应变近似呈线性关系,这与Lu等[14]的试验结果一致,但当压缩应变e较大时,这种线性关系不再成立。

图 3 压缩密度比与压缩应变关系 Fig. 3 Relations between compressive density ratio and compressive strain

图 4给出了由压缩密度比原始表达式(8)及其泰勒展开式(25)和式(31)得到的子弹的冲击响应历程,这里取泡沫材料的相对密度ζ=0.2,初始无量纲速度λ0=0.204 35,将λ0和式(37)分别代入到无量纲速度表达式(12)、式(26)和式(32)可以计算得到对应的初始应变e0,从而得到各参数随时间的变化规律。由图 4中可以看出它们具有相似的变化规律,而且随着展开阶次的增加,计算结果逐渐向压缩密度比原始表达式的结果靠近。

图 4 不同压缩密度比模型的冲击响应比较(ζ=0.2, λ0=0.204 35) Fig. 4 Comparison of impact responses predicted by different compressive density ratio models (ζ=0.2, λ0=0.204 35)

采用压缩密度比的原始表达式(8),并取初始无量纲速度λ0=0.204 35,可以计算出相对密度不同时泡沫子弹的冲击响应历程,如图 5所示。图中可以看出相对密度ζ不变时,子弹的塑性应变e、未变形区域长度z/L0和未变形区域的速度λ在冲击历程中逐渐减小,而变形区域的长度h/L0和塑性波前的速度η则随着时间的推移逐渐增大。同时可以看出,在同一时刻,随着相对密度ζ的增加,塑性应变e和子弹未变形区域长度z/L0减小,变形区域长度h/L0和塑性波前速度η则会增大,而未变形区域的速度λ则基本不变。

图 5 ζ不同时的冲击响应-时间曲线(λ0=0.204 35) Fig. 5 Impact responses versus time for different ζ (λ0=0.204 35)

图 6给出了泡沫材料相对密度不同时子弹的冲击响应随无量纲初始速度λ0的变化规律,这里的压实应变取eD=0.8。可以看出ζ一定时,最大塑性应变e0、子弹最终的变形区域长度H/L0和冲击持续时间τf随着λ0的增加而增加,子弹最终的未变形区域长度Z/L0和子弹总剩余长度Lf /L0及塑性波前无量纲初始速度η0则随着λ0的增加而相应减小。在λ0一定时,随着ζ的增大,子弹最终的变形区域长度H/L0和初始塑性波前无量纲速度η0相应的增大,而最大塑性应变e0、子弹最终的未变形区域长度Z/L0则减小,冲击持续时间τf和子弹总剩余长度Lf /L0则基本保持不变。

图 6 ζ不同时的最终冲击响应-λ0曲线 Fig. 6 Final impact responses versus λ0 for different ζ
4 结论

本文通过引入塑性泊松比,从理论上推导了泡沫材料Taylor撞击中压缩密度比与压缩应变之间的关系,进而对泡沫子弹的Taylor撞击响应进行了分析,主要可以得到:

1)当塑性泊松比为常数时,压缩密度比的一阶泰勒展开式可以退化到Lu的分析模型。同时,通过分析发现,当压缩应变较小时,撞击过程中的压缩密度比与压缩应变近似呈线性关系,这与Lu的试验分析结果一致,但压缩应变较大时,这种线性关系将不再成立。而后又计算了压缩密度比二阶泰勒展开的结果,发现它们的冲击响应历程具有相似的变化规律,同时随着展开阶次的提高,计算结果将逐渐向着原始表达式的结果靠近。

2)当塑性泊松比为压缩应变的函数时,通过塑性泊松比与压缩应变和相对密度的关系式(37),分析了子弹相对密度对冲击响应的影响,发现相对密度会对泡沫子弹的冲击响应历程及最终变形产生影响,但对冲击响应持续时间影响较小。

3)子弹的初始速度会对子弹最终变形和冲击响应持续时间产生重要影响。

本文的分析结果对利用Taylor模型分析泡沫材料的动力学行为具有重要的指导意义。

参考文献
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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0471
北京航空航天大学主办。
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刘虎, 刘华, 杨嘉陵
LIU Hu, LIU Hua, YANG Jialing
泡沫子弹撞击刚性靶板的理论模型
Theoretical model for a porous projectile striking on flat rigid anvil
北京航空航天大学学报, 2016, 42(7): 1461-1468
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2016, 42(7): 1461-1468
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0471

文章历史

收稿日期: 2015-07-14
录用日期: 2015-08-06
网络出版时间: 2015-09-17 10:43

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