Stiffness analysis of a flexible lever magnifying mechanism based on transfer matrix method
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摘要:
刚度是影响柔性微动机构动态性能和定位精度的重要指标。将工程中的传递矩阵概念引入到刚度分析中，首先根据结构特点将柔性微动机构模块化并将各子单元视为柔性体，全面考虑其轴向、剪切和弯曲等变形，求解各子单元柔性体的传递矩阵，然后通过传递矩阵将各子单元组合，最后根据力平衡建立柔性微动机构输入力和输出位移之间的关系模型。研究结果表明，传递矩阵法由于考虑了各单元的多维度真实变形，因此保证了结果的高精度。同时分析过程不需要求解刚柔单元变形协调方程，而且避免了微动机构全局坐标系的转换，减少了分析计算量。最后应用该方法建立了一种柔性杠杆放大微动机构的刚度模型，与有限元分析结果的对比误差小于6.4%，有效提高了分析精度，为参数设计提供了重要理论依据。
Abstract:Stiffness is an important performance index for the dynamic performance and positioning precision of compliant micromanipulator. Concept of transfer matrix in engineering was applied to the stiffness analysis here. First, according to its structure characteristics, the compliant micromanipulator was modularized and each unit was treated as flexible body. Taking axial, shear and bending deformation into consideration, we solved transfer matrix of the subunit. Then each unit was assembled through the transfer matrix. Finally, relational model between input force and output displacement of compliant micromanipulator was established according to the force balance. The research result indicates that because multi-dimensional real deformation of each unit was taken into consideration, high-precision result was guaranteed. At the same time, the deformation compatibility equations between flexible and rigid units did not need to be solved during the analysis, and conversion of compliant micromanipulator global coordinate system was avoided. The analysis and computation time was also reduced. A kind of flexible lever magnifying mechanism stiffness model was established with this method. The error is less than 6.4% compared with the result of finite element analysis. The accuracy of analysis is improved effectively, and important theoretical basis is provided for parameter design.
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柔性微动机构是一种靠各构件的变形来输出力或位移的机构[1-2]。现代科学技术的发展，使得柔性机构在微机电、微加工、微制造、微装配、纳米技术、航空航天和生物工程[3-8]等微观领域得到广泛应用。刚度是影响柔性微动机构动态性能和末端定位精度的重要因素，因此刚度是评价柔性微动机构的重要指标。
现有的柔性微动机构分析方法主要有伪刚体模型法[9-11]和结构矩阵法[12-13]。伪刚体模型法由Howell和Midha[14]最先提出，其基本思想是刚体替换法，将柔性机构等效简化为相应的刚性机构模型，再沿用成熟的刚性体理论对柔性机构的刚度进行分析。该方法计算简单，但伪刚体模型不唯一，刚体柔体之间有较大差别，在复杂力作用下，变形不仅发生在一维方向上，因此计算精度相对较低。结构矩阵法是一种扩展的伪刚体模型法，考虑柔性运动副的变形，对于柔性运动副间的连杆部件作为刚体考虑，利用刚柔单元变形协调方程、力平衡方程、坐标变换到整体坐标系下计算机构刚度。精度比伪刚体模型高，但变形协调难求解，计算量大。
基于以上方法的特点，提出一种求解柔性微动机构新方法——传递矩阵法。将柔性微动机构模块化，各子单元视为柔体，分别求解其传递矩阵，利用相邻子单元结点力与位移的关系将各子单元传递矩阵组合，由力平衡求解整个机构的刚度。该方法避免了变形协调方程及全局坐标系的变换，求解简单，具有递推性，利于编程，且考虑了各子单元的变形，求解结果更精确。以一种柔性杠杆放大机构为例，推导了其刚度的求解过程，并与ANSYS分析结果对比，证明了此方法的精确性。
1. 传递矩阵法
1.1 基本原理
选取的任一梁单元，如图 1所示。传递矩阵表示左结点力Fl、位移ul与右结点力Fr、位移ur的矩阵关系。结点力包括轴向力Fx、剪切力Fy、弯矩M，结点位移包括轴向位移ux、横向位移uy以及转角α。定义传递矩阵的传递方向由左向右，如图 1中箭头所示。
单元从左 (l) 端到右 (r) 端的关系为
(1) 式中：Fi=[Fxi Fyi Mi]T，i=l, r；ui=[uxi uyi αi]T; T为传递矩阵，文献[15]根据力平衡及虚功原理求解了传递矩阵的公式为
(2) 其中：
(3) L为梁的长度；E为弹性模量; G为剪切模量；u为应力分布不均匀系数，当截面为矩形时取u=1.2；A (x) 为截面剪切面积函数；I (x) 为惯性积函数。
1.2 传递矩阵坐标变换
在单元坐标系下，传递矩阵可根据式 (2) 求得。为了便于建立结点力平衡，需要将各子单元统一到结构坐标系中。如图 2所示，当梁单元绕l端旋转角度β(逆时针为正) 时，单元坐标系Ox′y′下的结点力为Fxi′、Fyi′、Mi′ (i=l, r)；结构坐标系Oxy下的结点力为Fxi、Fyi、Mi(i=l, r)。两者之间的关系如下：
(4) 
(5) 式中：γ为旋转矩阵，其定义为
在单元坐标下传递矩阵关系为
(6) 将式 (4)、式 (5) 代入式 (6) 可得
(7) 式中：
则梁单元在结构坐标系下传递矩阵为
(8) 2. 柔性杠杆放大机构刚度求解
2.1 机构描述
柔性杠杆放大机构如图 3所示，该机构根据杠杆原理设计，包括固定平台、驱动器、柔性铰链、弹性移动副、杠杆以及连杆。驱动器1产生驱动位移，经过弹性移动副2、柔性铰链3、连杆4、柔性铰链5传递变形。柔性铰链6相当于杠杆支点，通过杠杆7将位移放大，再通过柔性铰链8、连杆9、柔性铰链10在弹性移动副11上输出位移。支链3、4、5与支链8、9、10结构相同，其作用是使整个机构不产生过约束。
动力臂与阻力臂的比值决定了柔性杠杆放大机构的放大倍数，即杠杆7的长度决定其放大倍数。利用伪刚体模型法求解时，将杠杆7视为刚体绕支点的转动，输入输出为线性关系，但杠杆7末端需要克服阻力，因而会产生挠度，过长会导致其刚度变小而发生弯曲，因此合理的构建模型，选取杠杆7的长度使整个机构刚度最小是设计此机构的关键。
2.2 子单元刚度建模
将柔性杠杆放大机构划分单元，从图 4可以看出，共有3种单元，分别为弹性移动副、柔性梁以及柔性铰链。箭头表示传递矩阵的传递方向。图 5为柔性杠杆放大机构参数模型。
2.2.1 弹性移动副刚度
弹性移动副单元的受力方向及结构尺寸如图 6所示。
弹性移动副i点力与位移关系为
(9) 式中：Kp为弹性移动副的刚度矩阵[16]，其定义为
其中：b为弹性移动副z轴方向宽度；μ为泊松比。
单元1和单元10为弹性移动副，因此，可以得到
(10) 
(11) 式中：Kpa=Kp(t1, l1)，下标a为单元1中结点a；Kpn=Kp(t7, l7)，下标n为单元10中结点n；ua为结点a位移；un为结点n位移。
2.2.2 柔性梁传递矩阵
图 7为柔性梁单元，传递矩阵方向如箭头所示。求解积分式 (3) 即可得到柔性梁单元的传递矩阵Tl。
(12) 式中：Tl中的元素
单元3、5、6和8为柔性梁单元，根据图 4中传递矩阵的方向对各个子单元进行坐标变换。
单元3传递矩阵为
T3=λ(90°)T Tl(l2, h1)λ(90°)
单元5传递矩阵为
T5=λ(180°)TTl(l4, h2)λ(180°)
单元6传递矩阵为
T6=λ(180°)TTl(l5, h2)λ(180°)
单元8传递矩阵为
T8=λ(-90°)TTl(l6, h3)λ(-90°)
2.2.3 柔性铰链传递矩阵
柔性铰链单元的传递矩阵方向及结构尺寸如图 8所示。
柔性铰链右节点j与左结点i传递矩阵关系为
(13) 柔性铰链为变截面梁，需要通过积分求得传递矩阵，坐标系如图 8所示，其可变高度hr函数为
(14) 代入求解积分式 (3) 即可得到柔性铰链单元的传递矩阵Tr。
Tr中的元素
单元2、4、7、9为柔性铰链单元，根据图 4中传递矩阵的方向对各个子单元进行坐标变换。
单元2传递矩阵为
T2=λ(90°)TTr(R1, t2)λ(90°)
单元4传递矩阵为
T4=λ(90°)TTr(R2, t3)λ(90°)
单元7传递矩阵为
T7=λ(-90°)TTr(R4, t5)λ(-90°)
单元9传递矩阵为
T9=λ(-90°)TTr(R5, t6)λ(-90°)
2.3 力平衡建立
支链2、3、4、5受力分析如图 9所示。
在各子单元中传递矩阵分别为
(15) 因为b点力与b′点力为作用力与反作用力，位移连续，则Fb=Fb′，ub=ub′。
同理Fc=Fc′，uc=uc′，Fd=Fd′，ud=ud′。
因此
(16) 式中：
同理支链6、7、8、9为
(17) 式中：
将柔性铰链单元11对e点的作用等效为力Fe，e点力平衡得
(18) e点位移连续得
(19) 因此，
(20) 对于柔性铰链单元11
(21) 式中：kr为柔性铰链一端固定时刚度[17]。
输入点a力平衡得
(22) 式中：Fa为作用在弹性移动副a点的力；Fa′为作用在柔性铰链单元2a′点的力；F=[0 Fy 0]T为作用于弹性移动副的外力。
由式 (10)、式 (11)、式 (16)、式 (17)、式 (20)~式 (22) 联立可以求得
(23) 式中：
刚度矩阵的逆矩阵为其柔度矩阵，因此输出位移un与输入力F关系为
(24) 式中：C为机构的柔度矩阵，定义
由式 (24) 可得到弹性移动副a输入力Fy与末端y向输出位移uyn关系式为
(25) 式中：
3. 算例分析
分析比较传递矩阵法与有限元分析之间的误差。运用ANSYS14.0建立柔性杠杆放大机构模型进行刚度研究，选择三维20节点实体单元Solid95，设定柔性杠杆放大机构的材料为60Si2Mn，材料弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.27，剪切模量G=79 GPa。假设结构参数为：厚度b=10 mm，t1=t7=1 mm，l1=l7=11.5 mm，l2=l6=27 mm，l4=26.5 mm，l5=50.5 mm，h1=16 mm，h2=11 mm，h3=16 mm，Ri=3 mm (i=1, 2, …, 5)，ti=4 mm (i=2, 3, …, 6)。建立柔性杠杆放大机构有限元模型，网格划分如图 10所示。
图 10 柔性杠杆放大机构ANSYS网格划分Figure 10. ANSYS mesh generation of flexible lever magnifying mechanism约束固定平台，在输入弹性移动副a点施加力Fy=100 N。在输出弹性移动副n点提取输出位移uyn。因此通过分析所得机构刚度为k=Fy/uyn。通过MATLAB计算式 (23) 和式 (25) 求解传递矩阵法的刚度。改变l5的尺寸，得到不同的机构参数下的有限元分析值及传递矩阵值。其误差对比结果如表 1所示，可以得到其误差在6.4%以内，表明传递矩阵法是精确的。由图 11可以看出，有限元法与传递矩阵法刚度变化规律是一致的，因为考虑了各个单元的变形，与实际情况是相符合的。由此可通过传递矩阵法求解刚度的最小值，使其在相同的输入力的情况下，输出位移最大。
表 1 有限元法与传递矩阵法刚度对比Table 1. Comparison of stiffness between finite element method and transfer matrix methodl5/mm 刚度/(MN·m-1) 误差/% 有限元法 传递矩阵法 50.5 10.931 9 11.618 2 6.278 28 60.5 11.326 9 12.034 7 6.248 46 70.5 12.008 9 12.768 9 6.329 08 80.5 12.903 9 13.273 1 6.348 12 
图 11 有限元法与传递矩阵法关系曲线Figure 11. Relation curves of finite element method and transfer matrix method例如本文中的柔性杠杆放大机构模型，传递矩阵法刚度k与l5的关系曲线如图 12所示，A点即为刚度最小值点，此时l5为47 mm，相对应的刚度值为11.578 6 MN/m。
传递矩阵法求解结果大于有限元分析结果，可能原因为结构力学、弹性力学梁理论是建立在一定假设条件下的，为理想变形，在求解过程中忽略了细节变形，如求解弯矩时忽略轴向变形等；传递矩阵法将机构模块化，然后将各子单元组合，忽略了各子单元之间的变形；利用有限元求解的为三维的变形，而本文求解为二维平面内变形，因此产生偏差，并且有限元为近似的数值解，因此与真实值也有一定偏差。
4. 结论
1) 传递矩阵法将柔性微动机构划分为若干子单元，考虑各个子单元的轴向力、剪切力、弯矩变形。根据子单元传递矩阵的传递关系及力平衡求解整体机构刚度。避免了刚柔单元的位移协调方程及将各单元转换到整体坐标系，减少了计算工作量，且具有递推性，利于编程。
2) 以柔性杠杆放大机构为例，将有限元法分析结果与传递矩阵法分析结果相对比，误差在6.4%以内，且刚度的变化规律是一致的，证明了此方法的精确性，与实际情况相符。因此可通过传递矩阵法求解柔性杠杆放大机构刚度的最小值，使其在相同的输入力的情况下，输出位置最大。对柔性杠杆放大机构参数设计提供了理论依据。同时，此方法同样适用于其他柔性微动机构的刚度及运动学分析。
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图 10 柔性杠杆放大机构ANSYS网格划分
Figure 10. ANSYS mesh generation of flexible lever magnifying mechanism
图 11 有限元法与传递矩阵法关系曲线
Figure 11. Relation curves of finite element method and transfer matrix method
表 1 有限元法与传递矩阵法刚度对比
Table 1. Comparison of stiffness between finite element method and transfer matrix method
l5/mm 刚度/(MN·m-1) 误差/% 有限元法 传递矩阵法 50.5 10.931 9 11.618 2 6.278 28 60.5 11.326 9 12.034 7 6.248 46 70.5 12.008 9 12.768 9 6.329 08 80.5 12.903 9 13.273 1 6.348 12 
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