基于梯度搜索与进化机制的多目标混合算法

诸才承; 唐智礼; 赵鑫; 曹凡

doi:10.13700/j.bh.1001-5965.2022.0544

基于梯度搜索与进化机制的多目标混合算法

doi: 10.13700/j.bh.1001-5965.2022.0544

南京航空航天大学航空学院，南京 210016

基金项目: 国家自然科学基金 (12032011)

详细信息

通讯作者:
E-mail：tangzhili@nuaa.edu.cn

中图分类号: V211.41
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出版历程
- 收稿日期: 2022-06-29
- 录用日期: 2022-11-05
- 网络出版日期: 2022-11-22
- 整期出版日期: 2024-06-27

Multi-objective hybrid algorithm based on gradient search and evolution mechanism

College of Aerospace Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

Funds: National Natural Science Foundation of China (12032011)

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Corresponding author: E-mail：tangzhili@nuaa.edu.cn

摘要

摘要:
多目标进化算法(MOEA)因其良好的全局探索能力备受关注，但其在最优值附近的局部搜索能力却相对较弱，且对于具有大规模决策变量的优化问题，MOEA所需的种群数量与迭代次数都十分庞大，优化效率较低。基于梯度的优化算法能够很好地克服这些问题，但梯度搜索算法很难应用于多目标问题(MOPs)。在加权平均梯度的基础上引入随机权函数，发展多目标梯度算子，将其与基于参考点的第三代非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅲ)结合，发展了多目标梯度优化算法(MOGBA)和多目标混合进化算法(HMOEA)。HMOEA在保留NSGA-Ⅲ良好的全局探索能力的同时，极大地增强了局部搜索能力。数值实验表明：HMOEA对于各种Pareto阵面都具有优秀的捕获能力，与典型的多目标算法相比效率提升了5～10倍。进一步将HMOEA应用于RAE2822翼型的多目标气动优化问题中，得到了理想的Pareto前沿，表明HMOEA是一种高效的优化算法，在气动优化设计中具有潜在的应用价值。
- 多目标优化 /
- 混合算法 /
- 进化算法 /
- 梯度方法 /
- 气动优化
Abstract:
Because of its strong global exploration ability, the current multi-objective evolutionary algorithm (MOEA) has received a lot of attention. However, its local search ability close to the optimal value is relatively weak, and for optimization problems involving large-scale decision variables, MOEA requires a very large number of populations and iterations, which results in a low optimization efficiency. Gradient-based optimization algorithms can overcome these problems well, but they are difficult to be applied to multi-objective problems (MOPs). Therefore, this paper introduced a random weight function on the basis of a weighted average gradient, developed a multi-objective gradient operator, and combined it with a non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅲ (NSGA- Ⅲ) based on reference points to develop multi-objective optimization algorithm (MOGBA) and multi-objective Hybrid Evolutionary algorithm (HMOEA). The latter greatly enhances the local search capability while retaining the good global exploration capability of NSGA-Ⅲ. Experiments with numbers demonstrate that HMOEA can effectively capture a wide range of Pareto forms, and that it is 5–10 times more efficient than standard multi-objective algorithms. And further, HMOEA is applied to the multi-objective aerodynamic optimization problem of the RAE2822 airfoil, and the ideal Pareto front is obtained, indicating that HMOEA is an efficient optimization algorithm with potential applications in aerodynamic optimization design.
- multi-objective optimization /
- hybrid algorithm /
- evolutionary algorithms /
- gradient method /
- aerodynamic optimization

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图 1 基于2维的ROSENBROCK函数的算法比较

Figure 1. Comparison of algorithms based on ROSENBROCK function in two dimensions

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图 2 基于10维的ROSENBROCK函数的算法比较

Figure 2. Comparison of algorithms based on ROSENBROCK function in ten dimensions

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图 3 各类算法比较^[20]

Figure 3. Comparison of various algorithms^[20]

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图 4 非凸Pareto前沿的加权函数行为

Figure 4. Behavior of weighting functions in non-convex Pareto fronts

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图 5 权重搜索

Figure 5. Weighted search

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图 6 子种群退化

Figure 6. Subpopulation degradation

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图 7 偏少的初始种群多权重搜索

Figure 7. Less initial population multi-weight search

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图 8 翼型气动优化框架

Figure 8. Airfoil aerodynamic optimization framework

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图 9 CFD和实验的压力系数比较

Figure 9. Comparison of CFD and experimental pressure coefficient

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图 10 翼型优化结果的帕累托解分布

Figure 10. Distribution of Pareto solutions for airfoil optimization result

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图 11 翼型优化形状对比

Figure 11. Airfoil optimization comparison

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图 12 翼型压力系数分布对比

Figure 12. Comparison of pressure coefficient distribution of airfoil

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图 13 翼型气动优化结果对比

Figure 13. Comparison of optimization results

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表 1 基于ROSENBROCK函数的算法性能验证

Table 1. Performance verification of algorithm based on ROSENBROCK function

维度	算法	函数评估次数	收敛精度
2	BFGS	1480	10⁻⁵
2	GA	12320	10⁻⁵
10	BFGS	400	10
10	GA	7600	10

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表 2 测试函数参数设置

Table 2. Test function parameter Settings

函数	变量维度	目标数
ZDT1～ZDT3	30	2
ZDT4、ZDT6	10	2
DTLZ1	7	3
DTLZ2～DTLZ6	12	3
DTLZ7	22	4

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表 3 6种优化算法参数设置

Table 3. Six optimization algorithm parameter settings

算法	$ {p}_{{\mathrm{c}}} $	$ {p}_{{\mathrm{m}}} $	$ {\eta }_{{\mathrm{c}}} $	$ {\eta }_{{\mathrm{m}}} $	$ N $	$ L $	$ T $	$ \delta $	$ K $
HMOEA	1.0	$ 1/n $	20	20	100	5
MOGBA					100	5
NSGA-Ⅱ	1.0	$ 1/n $	20	20	100
NSGA-Ⅲ	1.0	$ 1/n $	20	20	100
MOEA/D	1.0	$ 1/n $	20	20	100		20	0.9	5
RVEA	1.0	$ 1/n $	20	20	100
注：$ n $为变量维度，$ {p}_{{\mathrm{c}}} $为交叉概率，$ {p}_{{\mathrm{m}}} $为变异概率，$ L $为多权重的权重数目，$ {\eta }_{{\mathrm{c}}} $为交叉分布指数，$ {\eta }_{{\mathrm{m}}} $为变异分布指数，$ N $为种群大小，$ T $为MOEA/D的邻居个数，$ \delta $为MOEA/D中邻居种群内相邻个体之间发生交叉的概率，$ K $为MOEA/D中子问题的个数。

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表 4 6种优化算法的IGD指标

Table 4. Six optimization algorithms IGD metrics

函数		均值
函数		HMOEA		MOGBA			NSGA-Ⅱ		NSGA-Ⅲ		MOEA/D		RVEA
ZDT1		$ 3.89\times {10}^{-3} $		$ 3.89\times {10}^{-3}$			$ 4.61\times {10}^{-3}$		$ 3.99\times {10}^{-3} $		$ 3.89\times {10}^{-3}$		$ 1.88\times {10}^{-2} $
ZDT2		$ 3.81\times {10}^{-3}$		$ 3.82\times {10}^{-3} $			$ 5.66\times {10}^{-1} $		$ 7.59\times {10}^{-1}$		$ 9.89\times {10}^{-2} $		$ 1.42 $
ZDT3		$ 5.61\times {10}^{-3}$		$ 9.22\times {10}^{-3} $			$ 1.28\times {10}^{-2}$		$ 1.78\times {10}^{-2} $		$ 1.97\times {10}^{-2} $		$ 1.59\times {10}^{-1}$
ZDT4		$ 3.89\times {10}^{-3} $		$ 3.89\times {10}^{-3} $			$ 2.38\times {10}^{-1}$		$ 4.79\times {10}^{-1} $		$ 4.24\times {10}^{-2} $		$ 1.24 $
ZDT6		$ 3.15\times {10}^{-3} $		$ 7.91\times {10}^{-3} $			$ 4.65\times {10}^{-2} $		$ 1.82\times {10}^{-1} $		$ 5.32\times {10}^{-3} $		$ 3.39\times {10}^{-1} $
DTLZ1		$ 2.06\times {10}^{-2} $		$ 3.41\times {10}^{-2} $			$ 5.35\times {10}^{-2} $		$ 3.44\times {10}^{-2} $		$ 2.35\times {10}^{-2} $		$ 9.09\times {10}^{-2} $
DTLZ2		$ 5.45\times {10}^{-2} $		$ 6.06\times {10}^{-2} $			$ 6.98\times {10}^{-2} $		$ 5.51\times {10}^{-2} $		$ 5.53\times {10}^{-2} $		$ 5.64\times {10}^{-2} $
DTLZ3		$ 6.58\times {10}^{-2} $		$ 4.80\times {10}^{-1} $			$ 8.29 $		$ 1.18\times {10}^{1} $		$ 2.32\times {10}^{1} $		$ 2.41\times {10}^{1} $
DTLZ4		$ 5.46\times {10}^{-2} $		$ 3.85\times {10}^{-1} $			$ 1.92\times {10}^{-1} $		$ 2.17\times {10}^{-1} $		$ 4.58\times {10}^{-1} $		$ 5.66\times {10}^{-2} $
DTLZ5		$ 3.50\times {10}^{-3} $		$ 1.46\times {10}^{-2} $			$ 6.02\times {10}^{-3} $		$ 1.30\times {10}^{-2} $		$ 3.33\times {10}^{-2} $		$ 8.88\times {10}^{-2} $
DTLZ6		$ 3.65\times {10}^{-3} $		$ 3.32\times {10}^{-1} $			$ 6.14\times {10}^{-3} $		$ 1.71\times {10}^{-2} $		$ 2.95\times {10}^{-1} $		$ 1.56\times {10}^{-1} $
DTLZ7		$ 7.71\times {10}^{-2} $		$ 1.23\times {10}^{-1} $			$ 9.61\times {10}^{-2} $		$ 1.29\times {10}^{-1} $		$ 1.86\times {10}^{-1} $		$ 2.34\times {10}^{-1} $

函数	秩和检验结果							标准差
函数	HMOEA	MOGBA	NSGA-Ⅱ		NSGA-Ⅲ	MOEA/D	RVEA	HMOEA		MOGBA	NSGA-Ⅱ	NSGA-Ⅲ	MOEA/D	RVEA
ZDT1	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ += $	$ ++ $	$ 2.41\times {10}^{-6} $		$ 2.48\times {10}^{-6} $	$ 2.05\times {10}^{-4} $	$ 6.51\times {10}^{-5} $	$ 1.42\times {10}^{-5} $	$ 3.48\times {10}^{-3} $
ZDT2	$ + $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 3.27\times {10}^{-7} $		$ 2.86\times {10}^{-6} $	$ 1.07\times {10}^{-1} $	$ 1.01\times {10}^{-1} $	$ 1.11\times {10}^{-1} $	$ 5.81\times {10}^{-1} $
ZDT3	$ - $	$ + $	$ += $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 1.29\times {10}^{-4} $		$ 1.65\times {10}^{-3} $	$ 8.94\times {10}^{-3} $	$ 7.89\times {10}^{-3} $	$ 1.25\times {10}^{-2} $	$ 2.41\times {10}^{-2} $
ZDT4	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 1.29\times {10}^{-4} $		$ 2.43\times {10}^{-6} $	$ 1.68\times {10}^{-1} $	$ 2.33\times {10}^{-1} $	$ 4.11\times {10}^{-2} $	$ 3.40\times {10}^{-1} $
ZDT6	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ +- $	$ ++ $	$ 6.55\times {10}^{-7} $		$ 1.71\times {10}^{-3} $	$ 2.39\times {10}^{-2} $	$ 6.88\times {10}^{-2} $	$ 2.92\times {10}^{-3} $	$ 7.76\times {10}^{-2} $
DTLZ1	$ - $	$ + $	$ += $		$ +- $	$ +- $	$ ++ $	$ 1.77\times {10}^{-4} $		$ 7.98\times {10}^{-3} $	$ 6.96\times {10}^{-2} $	$ 4.87\times {10}^{-2} $	$ 2.81\times {10}^{-3} $	$ 6.85\times {10}^{-2} $
DTLZ2	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ +- $	$ +- $	$ +- $	$ 3.63\times {10}^{-5} $		$ 2.02\times {10}^{-2} $	$ 2.37\times {10}^{-3} $	$ 2.07\times {10}^{-4} $	$ 5.23\times {10}^{-4} $	$ 5.94\times {10}^{-4} $
DTLZ3	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 7.42\times {10}^{-3} $		$ 3.17\times {10}^{-3} $	$ 3.97 $	$ 4.67 $	$ 1.60\times {10}^{1} $	$ 6.93 $
DTLZ4	$ - $	$ + $	$ +- $		$ +- $	$ += $	$ +- $	$ 6.40\times {10}^{-5} $		$ 1.22\times {10}^{-2} $	$ 2.35\times {10}^{-1} $	$ 2.29\times {10}^{-1} $	$ 3.43\times {10}^{-1} $	$ 1.26\times {10}^{-3} $
DTLZ5	$ - $	$ + $	$ +- $		$ +- $	$ ++ $	$ ++ $	$ 5.29\times {10}^{-4} $		$ 2.30\times {10}^{-3} $	$ 2.68\times {10}^{-4} $	$ 1.02\times {10}^{-3} $	$ 2.51\times {10}^{-4} $	$ 1.78\times {10}^{-2} $
DTLZ6	$ - $	$ + $	$ +- $		$ +- $	$ += $	$ +- $	$ 3.72\times {10}^{-4} $		$ 5.85\times {10}^{-2} $	$ 3.31\times {10}^{-4} $	$ 6.49\times {10}^{-3} $	$ 5.41\times {10}^{-1} $	$ 1.62\times {10}^{-1} $
DTLZ7	$ - $	$ + $	$ +- $		$ +- $	$ ++ $	$ ++ $	$ 5.79\times {10}^{-3} $		$ 1.35\times {10}^{-2} $	$ 9.18\times {10}^{-3} $	$ 9.25\times {10}^{-2} $	$ 1.76\times {10}^{-1} $	$ 5.91\times {10}^{-2} $

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表 5 6种优化算法HV指标

Table 5. Six optimization algorithms HV metrics

函数		均值
函数		HMOEA		MOGBA			NSGA-Ⅱ		NSGA-Ⅲ		MOEA/D		RVEA
ZDT1		$ 7.20\times {10}^{-1} $		$ 7.20\times {10}^{-1} $			$ 7.19\times {10}^{-1} $		$ 7.20\times {10}^{-1} $		$ 7.20\times {10}^{-1} $		$ 6.99\times {10}^{-1} $
ZDT2		$ 4.45\times {10}^{-1} $		$ 4.45\times {10}^{-1} $			$ 3.89\times {10}^{-2} $		$ 1.19\times {10}^{-6} $		$ 3.52\times {10}^{-1} $		$ 0 $
ZDT3		$ 5.83\times {10}^{-1} $		$ 5.82\times {10}^{-1} $			$ 5.83\times {10}^{-1} $		$ 5.78\times {10}^{-1} $		$ 6.0\times {10}^{-1} $		$ 4.64\times {10}^{-1} $
ZDT4		$ 7.20\times {10}^{-1} $		$ 7.20\times {10}^{-1} $			$ 4.92\times {10}^{-1} $		$ 2.71\times {10}^{-1} $		$ 6.76\times {10}^{-1} $		$ 7.87\times {10}^{-3} $
ZDT6		$ 4.17\times {10}^{-1} $		$ 4.13\times {10}^{-1} $			$ 3.63\times {10}^{-1} $		$ 2.22\times {10}^{-1} $		$ 4.13\times {10}^{-1} $		$ 9.78\times {10}^{-2} $
DTLZ1		$ 8.42\times {10}^{-1} $		$ 8.18\times {10}^{-1} $			$ 7.56\times {10}^{-1} $		$ 8.05\times {10}^{-1} $		$ 8.28\times {10}^{-1} $		$ 6.84\times {10}^{-1} $
DTLZ2		$ 5.60\times {10}^{-1} $		$ 5.57\times {10}^{-1} $			$ 5.29\times {10}^{-1} $		$ 5.55\times {10}^{-1} $		$ 5.54\times {10}^{-1} $		$ 5.51\times {10}^{-1} $
DTLZ3		$ 5.42\times {10}^{-1} $		$ 2.49\times {10}^{-1} $			$ 0 $		$ 0 $		$ 0 $		$ 0 $
DTLZ4		$ 5.59\times {10}^{-1} $		$ 2.87\times {10}^{-1} $			$ 4.80\times {10}^{-1} $		$ 4.83\times {10}^{-1} $		$ 3.6\times {10}^{-1} $		$ 5.51\times {10}^{-1} $
DTLZ5		$ 2.00\times {10}^{-1} $		$ 1.92\times {10}^{-1} $			$ 1.99\times {10}^{-1} $		$ 1.93\times {10}^{-1} $		$ 1.82\times {10}^{-1} $		$ 1.44\times {10}^{-1} $
DTLZ6		$ 2.00\times {10}^{-1} $		$ 1.01\times {10}^{-1} $			$ 1.99\times {10}^{-1} $		$ 1.91\times {10}^{-1} $		$ 1.39\times {10}^{-1} $		$ 1.09\times {10}^{-1} $
DTLZ7		$ 2.74\times {10}^{-1} $		$ 2.60\times {10}^{-1} $			$ 2.47\times {10}^{-1} $		$ 2.43\times {10}^{-1} $		$ 2.51\times {10}^{-1} $		$ 1.85\times {10}^{-1} $

函数	秩和检验结果							标准差
函数	HMOEA	MOGBA	NSGA-Ⅱ		NSGA-Ⅲ	MOEA/D	RVEA	HMOEA		MOGBA	NSGA-Ⅱ	NSGA-Ⅲ	MOEA/D	RVEA
ZDT1	$ = $	$ = $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 7.72\times {10}^{-6} $		$ 6.32\times {10}^{-6} $	$ 2.53\times {10}^{-4} $	$ 2.04\times {10}^{-4} $	$ 4.15\times {10}^{-5} $	$ 4.26\times {10}^{-3} $
ZDT2	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 4.20\times {10}^{-7} $		$ 3.66\times {10}^{-6} $	$ 3.61\times {10}^{-2} $	$ 6.40\times {10}^{-6} $	$ 9.42\times {10}^{-2} $	$ 0 $
ZDT3	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ == $	$ ++ $	$ 1.51\times {10}^{-4} $		$ 3.55\times {10}^{-4} $	$ 2.92\times {10}^{-2} $	$ 2.43\times {10}^{-2} $	$ 4.4\times {10}^{-2} $	$ 1.73\times {10}^{-2} $
ZDT4	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 3.92\times {10}^{-6} $		$ 6.51\times {10}^{-6} $	$ 1.55\times {10}^{-1} $	$ 1.70\times {10}^{-1} $	$ 4.22\times {10}^{-2} $	$ 2.24\times {10}^{-2} $
ZDT6	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ += $	$ ++ $	$ 6.23\times {10}^{-7} $		$ 1.43\times {10}^{-3} $	$ 2.76\times {10}^{-2} $	$ 5.74\times {10}^{-2} $	$ 3.08\times {10}^{-3} $	$ 4.08\times {10}^{-2} $
DTLZ1	$ - $	$ + $	$ += $		$ +- $	$ +- $	$ ++ $	$ 2.49\times {10}^{-4} $		$ 1.49\times {10}^{-2} $	$ 1.71\times {10}^{-1} $	$ 1.17\times {10}^{-1} $	$ 9.67\times {10}^{-2} $	$ 1.49\times {10}^{-1} $
DTLZ2	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 7.98\times {10}^{-5} $		$ 3.64\times {10}^{-3} $	$ 3.69\times {10}^{-3} $	$ 9.01\times {10}^{-4} $	$ 1.64\times {10}^{-3} $	$ 1.35\times {10}^{-3} $
DTLZ3	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 1.13\times {10}^{-2} $		$ 5.52\times {10}^{-4} $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $	$ 0 $
DTLZ4	$ - $	$ + $	$ +- $		$ +- $	$ +- $	$ +- $	$ 1.31\times {10}^{-4} $		$ 2.37\times {10}^{-2} $	$ 1.04\times {10}^{-1} $	$ 1.01\times {10}^{-1} $	$ 1.77\times {10}^{-1} $	$ 2.65\times {10}^{-3} $
DTLZ5	$ - $	$ + $	$ +- $		$ += $	$ ++ $	$ ++ $	$ 4.43\times {10}^{-4} $		$ 1.55\times {10}^{-3} $	$ 2.12\times {10}^{-4} $	$ 1.03\times {10}^{-3} $	$ 1.44\times {10}^{-4} $	$ 1.03\times {10}^{-2} $
DTLZ6	$ - $	$ + $	$ +- $		$ +- $	$ += $	$ += $	$ 3.61\times {10}^{-4} $		$ 1.65\times {10}^{-2} $	$ 2.08\times {10}^{-4} $	$ 4.59\times {10}^{-3} $	$ 7.65\times {10}^{-2} $	$ 4.24\times {10}^{-2} $
DTLZ7	$ - $	$ + $	$ ++ $		$ ++ $	$ ++ $	$ ++ $	$ 2.15\times {10}^{-3} $		$ 4.21\times {10}^{-3} $	$ 5.41\times {10}^{-3} $	$ 8.75\times {10}^{-3} $	$ 1.32\times {10}^{-2} $	$ 2.39\times {10}^{-2} $

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表 6 6种优化算法综合指标

Table 6. Six optimization algorithms comprehensive metrics

算法	平均秩		总平均秩	获得+的数目		获得−的数目		获得=的数目
算法	ZDT	DTLZ	总平均秩	HMOEA	MOGBA	HMOEA	MOGBA	HMOEA	MOGBA
HMOEA	1.200	1.000	1.083		0		23		1
MOGBA	2.200	3.786	3.125	23		0		1
NSGA-Ⅱ	4.000	3.500	3.708	24	14	0	7	0	3
NSGA-Ⅲ	4.700	3.500	4.000	24	14	0	9	0	1
MOEA/D	2.900	4.143	3.625	23	13	0	5	1	6
RVEA	6.000	4.643	5.208	24	19	0	4	0	1

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表 7 设计参数范围

Table 7. Range of design parameters

${R_{{\mathrm{le}}}}/c$	$\beta/{\mathrm{rad}}$	$ {\beta '}/{\mathrm{rad}} $	${b_1}/c$	${b_2}/c$	${b_3}/c$	$b_1'/c$	$b_2'/c$	$b_3'/c$
[0.004,0.012]	[0.14,0.28]	[0.00,0.14]	[0.05,0.20]	[0.10,0.30]	[0.10,0.30]	[0.05,0.30]	[0.05,0.30]	[0.10,0.25]

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表 8 3个选择点翼型气动参数

Table 8. Aerodynamic parameters of the three choice point airfoils

翼型	工况	$ {C}_{L}/{C}_{D} $
基准翼型	1	56.3354
基准翼型	2	37.3572
优化翼型1	1	62.4824(+10.91%)
优化翼型1	2	55.0731(+47.72%)
优化翼型2	1	67.3352(+19.53%)
优化翼型2	2	49.4523(+32.38%)
优化翼型3	1	69.0864(+22.63%)
优化翼型3	2	37.4338(+0.023%)

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